Pisanské období

Pisanova perioda je délka periody Fibonacciho posloupnosti modulo daného přirozeného čísla m . $\pi (m)$

Příklady

Definujme například období Pisano na . Nechť je -té Fibonacciho číslo. je zbytek po dělení t. Fibonacciho čísla číslem . Vyplněním následující tabulky $m=4$ $F_{i}$ $i$ $F_{i}\mod m$ $i$ $m$

Definice v

\pi (m)

m=4

$i$	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12	13	čtrnáct	patnáct	16	17	osmnáct	…
${\displaystyle F_{i))$	jeden	jeden	2	3	5	osm	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	…
$F_{i}\mod m$	jeden	jeden	2	3	jeden	0	jeden	jeden	2	3	jeden	0	jeden	jeden	2	3	jeden	0	…

všimněte si, že prvních šest čísel (0, 1, 1, 2, 3, 1) sekvence se opakuje donekonečna, což znamená, že pro období Pisano je rovno šest: . $\{F_{i}\mod m\}$ $m=4$ $\pi (4)=6$

Sekvence tvořená periodami Pisano dostala číslo A001175 a její začátek je uveden v následující tabulce.

$m$	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12	13	čtrnáct	patnáct	16
$\pi (m)$	jeden	3	osm	6	dvacet	24	16	12	24	60	deset	24	28	48	40	24

Periodicita

Fibonacciho posloupnost modulo jakékoli přirozené číslo je periodická, protože mezi prvními páry čísel jsou pro některé dva stejné páry . Proto je pro všechny přirozené k , , tedy posloupnost periodická. $m$ $m^{2}+1$ $(x_{i},x_{i+1})\equiv (x_{j},x_{j+1}){\pmod {m))$ $i\leqslant j$ $x_{i+k}\equiv x_{j+k}{\pmod {m))$

Vlastnosti

Jestliže a a b jsou relativně prvočísla , pak . Nebo, je-li započteno do prvočísel : , pak (důsledek čínské věty o zbytku ). $\pi (ab)=\mathrm {HOK} \left(\pi (a),\pi (b)\right)$ $m$ $m=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k }}$ $\pi (m)=\mathrm {HOK} \left(\pi (p_{1}^{\alpha _{1))),\pi (p_{2}^{\alpha _{2} }\right),\ldots ,\pi (p_{k}^{\alpha _{k))))$

$\pi (m)=\sigma (m)\cdot \sigma _{0}(m)$ , kde za je počet nul v období a za indexem první nuly (nepočítá se ). Navíc je známo, že . $\sigma (m)\;$ $\sigma _{0}(m)\;$ $F_{0}$ $\sigma (m)\in \{1,2,4\}$

Pro prvočíslo a celé číslo , . _ Navíc pro všechny přesné mocniny prvočísel od 1 do milionu platí . Ale stále není známo (viz otevřené matematické úlohy ), zda tato rovnost platí pro všechna čísla a zda existují p takové, že . $p$ $k\geqslant 1$ $\pi (p^{k})|p^{k-1}\cdot \pi (p)$ $\pi (p^{k})=p^{k-1}\cdot \pi (p)$ $\pi (p^{2})=\pi (p)$

Pokud je prvočíslo, platí následující tvrzení: $p$
- když je číslo dělitel ; $p\equiv \pm 1{\pmod {5}}$ $\pi (p)$ $p-1$
- když číslo je dělitel . $p\equiv \pm 2{\pmod {5}}$ $\pi (p)$ $2\cdot p+2$

Pro všechna kladná celá čísla platí nerovnost a rovnosti v ní je dosaženo pouze na číslech ve tvaru . $m$ $\pi (m)\leqslant 6\cdot m$ ${\displaystyle m=2\cdot 5^{k))$

Odkazy

Charles W. Campbell II, "Období Fibonacciho sekvence Modulo j" , Math 399, jaro 2007
Marc Renault, "Fibonacciho sekvence modulo m"
N. N. Vorobjov. Fibonacciho čísla . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Populární přednášky o matematice ).