Teleskopická řada

Teleskopická řada v matematice je nekonečná řada , jejíž součet lze snadno získat na základě skutečnosti, že při otevření závorek se téměř všechny členy navzájem ruší. Název je dán analogií s tubusem teleskopu , který dokáže zkrátit svou délku několikanásobným složením.

Nejznámějším příkladem takové řady je součet reciprokých obdélníkových čísel : , který je zjednodušen takto: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)))$

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)))&{}=\sum _{n=1}^ {\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\\&{}=\left(1-{\frac {1 }{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots =\\&{}=1+\left (-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3 }}\right)+\cdots =1.\end{aligned}}

Podstatou teleskopických součtů je, že každý člen řady je reprezentován jako rozdíl, a proto je částečný součet řady zjednodušen:

\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i+1})=(a_{1}-a_{2})+(a_{2}-a_{3 })+\cdots +(a_{n-1}-a_{n})+(a_{n}-a_{n+1})=a_{1}-a_{n+1}

Podobně si lze představit „teleskopický“ produkt, tedy nekonečný produkt tvaru:

\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}}} \cdot {\frac {a_{3}}{a_{2}}}\cdot {\frac {a_{4}}{a_{3}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{ n-1}}}\cdot {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}

Při sčítání podmíněně konvergentních nekonečných řad je třeba věnovat pozornost skutečnosti, že přeskupení členů může vést ke změně výsledku (viz Riemannova věta o podmíněně konvergentních řadách ). Například „paradox“ se sérií Grandi :

0=\sum _{n=1}^{\infty }0=\sum _{n=1}^{\infty }(1-1)=1+\součet _{n=1}^ {\infty }(-1+1)=1

Tomu se lze vyhnout tím, že vždy vezmeme v úvahu součet prvních n členů a pak najdeme limitu v . $n\to\infty$

Příklady

Mnoho goniometrických funkcí umožňuje zobrazení jako rozdíl, což umožňuje organizovat vzájemné zničení odpovídajících členů

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac { 1}{2}}\operatorname {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\ sin \left(n\right)\right)=\\&{}={\frac {1}{2}}\operatorname {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\ součet _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2 }}\right)\right)=\\&{}={\frac {1}{2}}\název operátora {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\ cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}

částečný součet geometrické posloupnosti :

(x-1)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k+1}-x^{ k})=x^{n+1}-1.

někdy musíte "teleskopickou" transformaci použít dvakrát:

{\begin{aligned}(x-1)^{2}\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}&=\sum _{k=1}^{n }(kx^{k+1}-2kx^{k}+kx^{k-1})=\\&=\součet _{k=1}^{n}[kx^{k+1}- (k-1)x^{k}]-\součet _{k=1}^{n}[(k+1)x^{k}-kx^{k-1}]=nx^{n+ 1 }-(n+1)x^{n}+1\end{aligned}}

Další metodou pro výpočet tohoto součtu je reprezentovat členy jako derivaci geometrické posloupnosti:

\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}={\frac {\rm {d}}({\rm {d}}x}}\sum _{k= 0}^{n}x^{k}={\frac {\rm {d}}({\rm {d}}x}}{\frac {x^{n+1}-1}{x- 1}}={\frac {(n+1)x^{n}(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^{2}}}={ \frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}

Viz také

Transformace Eulerovy řady
Diskrétní Abelova transformace
Zrychlení konvergence