Sada velkých goniometrických součtů

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. května 2019; kontroly vyžadují 6 úprav .

Množina velkých goniometrických součtů je pojmem teorie čísel - množina indexů, ve kterých Fourierova transformace charakteristické funkce dané podmnožiny grupy nabývá dostatečně velkých hodnot.

Pro usnadnění prezentace je dále v článku použita zkratka MBTS, i když není obecně přijímána.

Předpoklady pro učení

V klasické metodě goniometrických součtů je často požadováno odhadnout shora hodnotu modulu součtu pro nějakou podmnožinu cyklické grupy. Pokud má tento součet malý modul pro všechny , pak z toho můžeme vyvodit závěry o rovnoměrnosti rozdělení mezi spojité segmenty reziduí modulo . To platí například pro množinu kvadratických zbytků [1] (a mocninných zbytků obecně [2] ), diskrétních logaritmů po sobě jdoucích čísel [3] , nebo (pro jednoduché ) výrazy tvaru , kde je inverzní prvek vzhledem k násobení ( Kloostermanův součet ) [4] . ${\displaystyle \sum \limits _{x\in X}{e^{\frac {ax}{n))))$ ${\displaystyle X\subset {\mathbb {Z} }_{n))$ $a\not \equiv 0{\pmod {n}}$ $X$ $n$ $n$ $a+a^{-1}$ $a^{{-1}}$ ${\mathbb {F} }_{n}$

Přirozeně vyvstává otázka: pokud uvažované sumy nemají malý modul pro všechny, pak pro kolik může být tento modul velmi velký a pro které konkrétní sady hodnot to může být pravda? Je například zřejmé, že pokud to platí pro , pak i pro , ale nabízí se otázka existence dalších takových obecných zákonů, které nezávisí na povaze množiny . $a\not \equiv 0{\pmod {n}}$ $A$ $A$ $A$ $-A$ $X$

Tento problém našel širokou pozornost v aditivní kombinatorice , myšlenkou, která spočívá v identifikaci vzorů ve struktuře množin s minimálními omezeními na ně, a Fourierovy koeficienty se v ní široce používají.

Definice

Zákonitosti týkající se MBTS jsou zpravidla uvažovány na základě dvou parametrů - velikosti hlavního souboru a hranice, podél které jsou odděleny hodnoty trigonometrických součtů. Někdy pro pohodlí není hranice trigonometrických součtů zapsána explicitně, ale je parametrizována prostřednictvím jejího vztahu k velikosti množiny (protože modul součtu zjevně není nikdy větší než velikost množiny). Z tohoto důvodu, stejně jako z odlišné normalizace Fourierových koeficientů, se mohou výrazy ve formulacích definic a vět různých autorů lišit, ale podstata zkoumaných vztahů zůstává stejná.

Nechť je přirozené číslo, , $N$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $|A|=\delta N$

Označme také tý Fourierův koeficient (nenormalizovaný) charakteristické funkce . ${\widehat {A}}(\xi )=\sum \limits _{x\in A}{e^{2\pi {\frac {\xi x}{N}}i}}$ $\xi$ $A$

Potom jsou definovány množiny velkých goniometrických součtů s parametrem (až do parametru ) jako $\alpha$

{\mathcal {R}}_{\alpha }={\mathcal {R}}_{\alpha }(A)=\left\lbrace {\xi :|{\widehat {A}}(\ xi )|\geq \alpha N}\right\rbrace

[5]

Některé studijní metody

Aproximace funkce množinou

Pro konstrukci příkladů množin, které mají MBTS s určitými vlastnostmi, se často konstruují funkce, které mají odpovídající Fourierovy koeficienty, a na tomto základě je pak konstatována existence množin, jejichž Fourierovy koeficienty se příliš neliší od koeficientů těchto funkcí [6] [7] [8] . Důvody pro to jsou dány následujícím lemmatem, jehož důkaz se vrací k obecné lineárně-algebraické myšlence a přesahuje rámec vědy MBTS.

Pokud , pak existuje sada velikostí taková, že [9] $f:{\mathbb {Z} }_{N}\to [0;1]$ ${\displaystyle S\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $\left\lfloor {\součet \limits _{x}{f(x)))\right\rfloor$ $\forall r\in {\mathbb {Z} }_{N}:|{\widehat {S}}(r)-{\widehat {f}}(r)|\leq 20{\sqrt { N}}$

Filtrování Fourierových koeficientů

Pro odvození obecných tvrzení o MBTS některých množin je vhodné použít [10] [11] funkce vytvořené z indikační funkce množiny filtrací Fourierových koeficientů vzhledem k této MBTS, tedy takové funkce , která $F$

{\widehat {f}}(\xi )={\begin{cases}{\widehat {1_{A}}}(\xi )&\xi \in {\mathcal {R}}_{\ alpha }(A)\\0&\xi \not \in {\mathcal {R}}_{\alpha }(A)\end{cases}}

Ukazuje se, že u takových funkcí je většina součtu hodnot také soustředěna v . $A$

Vlastnosti

Velikost

Z rovnosti je snadné získat. co . $\sum \limits _{\xi }{|{\widehat {A}}(\xi )|^{2}}=|A|^{2}$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}_{\alpha }|<{\frac {\delta }{\alpha ^{2))))$

Pro některé hodnoty je tento odhad poměrně přesný , pokud jde o pořadí růstu . $\delta ,\alpha$

Příkladem jsou kvadratické zbytky

Jestliže je množina kvadratických zbytků modulo , , pak pro , odhad se změní na nerovnost blízkou . ${\displaystyle Q_{p}\subset {\mathbb {Z} }_{p))$ $p$ $\delta ={\frac {p+1}{2p)),\ \alpha \approx {\frac {1}{2{\sqrt {p))))$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(Q_{p})|=p$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(Q_{p})|<2(p+1)$

Pomocí konstrukce formuláře lze tuto myšlenku zobecnit na MBTS se spodní hranicí vzhledem k modulu o hodnotu součtu. Současně se tvoří stejný rozdíl mezi odhadem a skutečnou velikostí MBTS. ${\displaystyle \bigcup \limits _{s=0}^{k-1}{(sp+Q_{p})}\subset {\mathbb {Z} }_{kp))$

Příkladem jsou po sobě jdoucí čísla

V příkladu s kvadratickými zbytky je hodnota blízká pevné. K nalezení příkladů s libovolnou hodnotou postačí uvažovat množinu , kde . $\delta ={\frac {p+1}{2p}}\cca {\frac {1}{2}}$ $\delta$ ${\displaystyle A=\{1,2,\tečky ,m\}\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $m\ll N$

Pak (to znamená, že směry odpovídajících vektorů jsou omezeny poměrně úzkým úhlem) a proto , takže spodní hranice je pravdivá . Navíc od r dokonce platí, že $\forall \xi <{\frac {N}{4m}}\forall a\in A:\ \arg \left({e^{2\pi {\frac {\xi a}{N}} i}}\right)<{\frac {\pi }{2}}$ ${\displaystyle e^{2\pi {\frac {\xi a}{N}}i))$ $\forall \xi <{\frac {N}{4m)):|{\widehat {A}}(\xi )|\gg {\frac {m}{2}}$ $|{\mathcal {R}}_{\frac {m}{2N}}(A)|\geq \left\lfloor {\frac {N}{4m}}\right\rfloor$ $|{\widehat {A}}(\xi )|=|{\widehat {A}}(-\xi )|$ $|{\mathcal {R}}_{\frac {m}{2N}}(A)|\geq \left\lfloor {\frac {N}{2m}}\right\rfloor$

Pro , se však horní odhad změní v nerovnost . $\delta ={\frac {m}{N)),\ \alpha ={\frac {m}{2N))$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(A)|\leq 4{\frac {N}{m}}$

Ukazuje se, že i horní odhad je přesný až do násobení konstantou. $\left\lfloor {\frac {N}{2m}}\right\rfloor \leq |{\mathcal {R}}_{\alpha }(A)|\leq 4{\frac {N}{ m}}$

Struktura

Stupeň strukturovanosti MBTS v různých smyslech lze poměrně přesně odhadnout, když jsou dostatečně velké. V případě, že jsou malé, může být MBTS zcela libovolné.

Aditivní energie

Na jedné straně MBTS umožňují nižší odhad aditivní energie kterékoli z jejich podskupin.

Pokud , pak [11] $B\subset {\mathcal {R}}_{\alpha }$ ${\displaystyle T_{k}(B)\gg _{k}{\frac {\alpha ^{2k)){\delta ^{2k-1))}|B|^{2k))$

Stručný popis nápadu důkazu

Postačí odhadnout energii množin tvaru podobným způsobem a výsledky sečíst přes hodnoty $B'\subset {\mathcal {R}}_{\alpha }\setminus {\mathcal {R}}_{2\alpha }$ $\alpha ,2\alpha ,4\alpha ,\tečky$

Funkce se používá k odhadu energie . jehož Fourierovy koeficienty jsou koeficienty filtrované pomocí . Protože z obecných úvah jsou hodnoty takové funkce velmi saturované v , stačí pomocí řady Hölderových nerovností a operací s konvolucemi odhadnout tuto saturaci konstrukcí a určitým faktorem závislým na (tj . , na ). Konstrukce se díky odečtení od (tedy kvůli podmínce odhadu shora) odhaduje shora přes hodnotu aditivní energie (s nějakým dalším faktorem). $B'$ $1_{A}$ $B'$ $A$ $\sum \limits _{u}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{r}({\widehat {f))(r){\overline {{\widehat {f)) (cs)}}}}{\Bigg \vert }}^{2}}$ $|A|$ $\delta$ $\sum \limits _{u}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{r}({\widehat {f))(r){\overline {{\widehat {f)) (cs)}}}}{\Bigg \vert }}^{2}}$ ${\mathcal {R}}_{2\alpha }$ $B'$ ${\widehat {f}} (\xi )$

Na druhou stranu za určitých dodatečných (ne příliš silných) podmínek na parametry existuje množina, pro kterou platí i horní mez , navíc [12] . To naznačuje, že někdy může být MBTS stále poměrně velké a zároveň nestrukturované. $k,\alpha ,\delta$ $A$ ${\displaystyle T_{k}({\mathcal {R}}_{\alpha })\ll _{k}{\frac {\delta }{\alpha ^{2k))))$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}_{\alpha }|\gg {\frac {\delta }{\alpha ^{2))))$

Design

Pro konstrukci je použita sada , která má speciálně zvýšenou vlastnost disociativnosti. $\lambda$

Samotná množina je definována jako sjednocení posunů různých aritmetických posloupností s rozdíly a posuny se volí tímto způsobem. aby každá nová progrese přidaná do množiny měla co nejmenší průnik s již zkonstruovanou množinou. $A$ $|\Lambda |$ $\lambda \in \Lambda$

MBTS takové množiny obsahuje sjednocení stejného počtu dalších aritmetických posloupností (což nám umožňuje hovořit o její velké velikosti) a zároveň je samo obsaženo ve sjednocení stejných aritmetických posloupností, jen více rozšířených v obou směrech (a to nám umožňuje odvodit z obecných kombinatorických úvah, že jeho aditivní energie není velká).

V případě, kdy má maximální možnou velikost, se tyto odhady (pokud je první uvažován pro ) shodují až do konstanty v závislosti na . To znamená, že pro poměrně širokou třídu hodnot parametrů existují množiny, jejichž míra strukturování MBTS je určena téměř jednoznačně, a jejich MBTS se ukazuje být tím nestrukturovanější, čím více prvků obsahují (čím větší je rozdíl mezi a ). ${\mathcal {R}}_{\alpha }$ $B={\mathcal {R}}_{\alpha }$ $k$ $\delta ,\alpha$ $\delta$ $\alpha$

Aditivní rozměr

Další studovanou charakteristikou je aditivní rozměr MBTS, tj. velikost maximální disociativní množiny v něm obsažené . Dále je tato hodnota označena jako . $\dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })$

Chang v roce 2002 dokázal, že [13] [14] . Základem důkazu byla aplikace Rudinovy nerovnosti na funkci vytvořenou z indikační funkce množiny filtrací Fourierových koeficientů podle [10] . ${\displaystyle \dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })\ll {\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\ log {\left({\frac {1}{\delta }}\right)))$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }$

Green přitom v roce 2003 ukázal, že za podmínek

$\delta \leq {\frac {1}{8))$

$\alpha \leq {\frac {\delta }{32))$

${\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\log {\left({\frac {1}{\delta }}\right)}\leq {\frac {\log N}{\log \log N))$

existuje množina, pro kterou [15] [7] . $A$ ${\displaystyle \dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })\gg {\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\ log {\left({\frac {1}{\delta }}\right)))$

To znamená, že při zohlednění dostatečně velkých hodnot součtů lze poměrně přesně odhadnout i aditivní rozměr MBTS.

Svévole

Pokud je MBTS dostatečně malý ve srovnání s jeho maximální možnou velikostí, pak se celkový odhad aditivní energie ukazuje jako triviální, to znamená, že nám neumožňuje říci nic o vnitřní struktuře souboru.

Ukazuje se, že v tomto případě se o tom nedá nic říct - to znamená, že libovolnou sestavou může být malý MBTS.

Věta (Shkredov)

Pokud

$\delta <{\frac {1}{2}}$

$20{\frac {1}{\sqrt {N}}}<\alpha \leq {\frac {\delta }{2}}$

$|S|\leq {\frac {\delta }{2\alpha }}$

$S=-S$

pak [ 6] $\exists A:\ |A|=\left\lfloor {\delta N}\right\rfloor$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }(A)=S$

Stručný popis nápadu důkazu

Stačí uvažovat o takové funkci , že $F$

{\widehat {f}} (\xi )={\begin{cases}\delta &\xi =0\\2\alpha &\xi \in S\setminus \{0\}\\0&\ xi \not \in S\end{cases}}

a aplikovat lemma na aproximaci jeho Fourierových koeficientů pomocí Fourierových koeficientů indikátorové funkce množiny.

Hlavním omezením je , že zbytek je způsoben obecnou povahou goniometrických součtů. $|S|\leq {\frac {\delta }{2\alpha }}$

Omezení velikosti lze zmírnit přidáním podmínky, že má nějakou vlastnost, která je variací disociativity [16] . $|S|\leq {\frac {\delta }{\alpha }}\log {\frac {1}{\delta }}$ $S$

Vztah mezi MBTS různých sad

MBTS sad velikostí (polovina velikosti skupiny) v jistém smyslu pokrývají strukturu všech ostatních MBTS. $\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$

Věta (zelená)

If , then for any existuje takové, že a [8] ${\displaystyle \alpha \geq 80{\frac {1}{\sqrt {N))))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ ${\displaystyle B\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $|B|=\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }(A)\subset {\mathcal {R}}_{\frac {\alpha }{4}}(B)$

Zobecnění

MBTS lze studovat nejen pro cyklické, ale i pro libovolné skupiny, pokud je správně zobecněn koncept Fourierova koeficientu [17] .

Například pro any a její množina -MBTS obsahuje podskupinu velikosti (poslední výraz znamená tetrace ) [18] . $\alpha <{\frac {1}{2))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{2}^{n))$ $\alpha$ ${}^{\left({\frac {1}{\alpha ^{3))}\right)}2$

Aplikace

Chang použil meze na aditivní dimenzi MBTS, aby zlepšil meze ve Freimanově teorému [14] .

Literatura

B. I. Segal. Trigonometrické součty a některé jejich aplikace v teorii čísel // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1946. - Vydání. 3-4 (13-14) . - S. 147-193 . (Ruština)

M. A. Koroljov. Metody pro odhad Kloostermanových krátkých částek // Chebyshevskii sbornik. - 2016. - T. 17 , no. 4 . - S. 79-109 . (Ruština)

I. D. Shkredov. Některé příklady množin velkých goniometrických součtů // Matematická sbírka. - 2007. - T. 198 , č. 12 . - S. 105-140 . (Ruština)

I. D. Shkredov. Na množinách velkých goniometrických součtů // Izvestiya RAN, Mathematics Series. - 2008. - T. 72 , č. 1 . - S. 161-182 . (Ruština)

Mei-Chu Chang. Polynom vázaný ve Freimanově větě // Duke Mathematical Journal. - 2002. - Sv. 113 , iss. 3 . - str. 399-419 .

Ben Green. Některé konstrukce v inverzní spektrální teorii cyklických grup // Kombinatorika, pravděpodobnost a výpočty. - 2003. - Sv. 12 , iss. 2 . — S. 127-138 .

Ben Green. Lema regularity Szemerédiho typu v abelovských skupinách s aplikacemi (anglicky) // Geometric & Functional Analysis GAFA. - 2005. - Sv. 15 , iss. 2 . — S. 340-376 .

Poznámky

↑ Segal, 1946 , str. 151.
↑ Segal, 1946 , str. 159-160.
↑ Segal, 1946 , str. 163.
↑ Korolev, 2016 , str. 81-82.
↑ Shkredov, 2008 , s. 161.
↑ 1 2 Shkredov, 2007 , s. 109, Návrh 2.1.
↑ 1 2 Green, 2003 , str. 131-133, lemmata 3.2, 3.3.
↑ 1 2 Green, 2003 , str. 129, Lemma 2.3.
↑ Zelená, 2003 , str. 129, Lemma 2.2.
↑ 1 2 Předtisk Changova díla Archivováno 1. prosince 2016 na Wayback Machine , str. 17, Lemma 3.1
↑ 1 2 Shkredov, 2008 , s. 163, věta 5.
↑ Shkredov, 2007 , s. 118, Věta 2.11.
↑ Shkredov, 2008 , s. 162, Věta 1 (žádný důkaz).
↑ 1 2 Chang, 2002 .
↑ Shkredov, 2008 , s. 162, věta 4 (žádný důkaz).
↑ Shkredov, 2007 , s. 112, Návrh 2.9.
↑ Shkredov, 2007 , s. 108.
↑ Zelená, 2005 , str. 345, věta 2.1.