Kloostermanovy sumy

Kloostermanovy součty - předmět studia analytické teorie čísel , trigonometrické součty přes prvky zbytkového kruhu , reciproční v modulu k prvkům nějaké množiny s přirozenou strukturou (obvykle interval nebo prvočísla z intervalu).

První odhady součtů získal Kloosterman v roce 1926 v souvislosti se studiem počtu zobrazení čísel ve tvaru . [jeden] ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2))$

Definice

Nechť je libovolné celé číslo a nechť se zavede zápis pro coprime s . Pak pro celkovou Kloostermanovu sumu je součet formuláře $q\geq 3$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {F} }_{q))$ $q$ $n{\overline {n}}\equiv 1{\pmod {q}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {F} }_{q))$

S(q;a,b):=\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq q-1}{(n,q)=1}}{e_{q}\left( {a{\overline {n}}+bn}\right)}\ .

Neúplný součet se nazývá součet za určitý interval . [2] ${\displaystyle \sum \limits _{n=M+1}^{M+N}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)))$

Někdy součty nad prvočísly [3] , multilineární součty zahrnující inverzní prvky [4] a další součty tvaru , kde . ${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{q))$

Dané Kloostermanovy částky se obvykle odhadují na libovolné , včetně . $q$ ${\displaystyle a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q))$ ${\displaystyle S(q)=\max \limits _{a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}{S(q;a,b)))$

Vlastnosti

V , celkové Kloostermanovy součty degenerují na Ramanujanovu sumu . $a=0$

Pokud tedy ano , je otázka odhadu redukována na případ . $(q_{1},q_{2})=1$ $S(q)=S(q_{1})S(q_{2})$ $S(q)$ $q=p^{n}$

Hodnocení

$|S(q)|\leq \tau (q){\sqrt {q))$ , kde je počet dělitelů . Z toho vyplývá, že pro jakýkoli . [5] $\tau (q)$ $\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq x}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn} \right)}\leq \tau (q){\sqrt {q}}(\log q+1)$ $x<q$

Pro součty druhého typu pro , jsou známy i další odhady, které nejsou triviální pro . [6] $q=p,\ b=0$ $x\geq \exp \left({\Omega ((\log p)^{2/3}(\log \log p)^{2})}\right)$

Poznámky

↑ Kloosterman, 1926 .
↑ Korolev (1), 2016 , str. 80.
↑ Pekař, 2012 .
↑ Burgain, Garaev, 2014 .
↑ Korolev (1), 2016 , vzorec (1) a věta 3
↑ Burgain, Garaev, 2014 , věta 16; viz také přehled podobných výsledků v Korolev (2), 2016 , str. 838–839

Literatura

HD Kloosterman. O reprezentaci čísel ve tvaru ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2))$ (anglicky) // Acta Math .. - 1926. - Sv. 49 , iss. 1 . — S. 407–464 .

M. A. Koroljov. Metody pro odhadování krátkých částek Kloosterman // Chebyshevsky kolekce. - 2016. - T. 17 , no. 4 . — s. 79–109 . (Ruština)

M. A. Koroljov. Krátce Kloosterman sčítá modulo a prvočíslo // Matematické poznámky . - 2016. - T. 100 , č.p. 6 . — S. 838–846 . (Ruština)

J. Bourgain, M. Z. Garaev. Součet množin tvořených inverzními prvky v polích prvořadého řádu a multilineárních Kloostermanových součtů // Izvestiya RAN. - 2014. - T. 78 , č.p. 4 . — S. 19–72 . - arXiv : 1211.4184 . (Ruština)

R. C. Baker. Kloostermanovy součty s prvočíslem (anglicky) // Acta Arithmetica. - 2012. - Sv. 156 . — S. 351–372 .