Ramanujan částky

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. března 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Ramanujanovy součty jsou goniometrické součty závislé na dvou celočíselných parametrech a , ve tvaru: $k$ $n$

c_{k}(n)=\součet _{h}\cos \left({\frac {2\pi nh}{k))\right)=\součet _{h}\exp \left( {\frac {2\pi nhi}{k}}\right),

kde a . ${\displaystyle h<k,\;h\in \mathbb {Z} _{0))$ $(h,\;k)=1$

Hlavní vlastností Ramanujanových součtů je jejich multiplikativnost vzhledem k indexu , tzn. $k$

c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),

pokud . $(k,\;k')=1$

Součty mohou být reprezentovány pomocí Möbiovy funkce : $c_{k}(n)$ $\mu$

c_{k}(n)=\sum _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d))\right)d.

Ramanujanské součty jsou omezeny na ohraničené buď , nebo . Takže například . $k$ $n$ $c_{k}(1)=1$

Aplikace Ramanujanových součtů

Mnoho multiplikativních funkcí přirozeného argumentu může být rozšířeno do sérií v . Opak je také pravdou. $c_{k}(n)$

Hlavní vlastnosti součtů umožňují vypočítat součty formuláře:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s))}f(n),\quad \sum _{k=1 }^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s))}f(k),

kde je multiplikativní funkce , je celé číslo , je obecně komplexní. $f(n)$ $q$ $s$

V nejjednodušším případě lze získat

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}( n)}{\zeta (s)))),

kde je Riemannova zeta funkce , je součet tých mocnin dělitelů čísla . $\zeta (s)$ $\sigma _{k}(n)$ $k$ $n$

Takové součty úzce souvisejí se speciálními řadami některých aditivních problémů v teorii čísel , jako je reprezentace přirozených čísel jako sudého počtu čtverců. V [1] je uvedeno mnoho vzorců obsahujících tyto součty.

Literatura

Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1918. - v. 22.-str. 259-276.
Hardy GH Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20.- str. 263-271.
Ramanujan S. Sebrané papíry. - Cambridge, 1927. - str. 137-141.
Volkmann B. Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1974. - Bd 271. - S. 203-213.
Titchmarsh, E. K. Teorie Riemannovy zeta funkce. - Čerepovec: Mercury-Press, 2000. - 407 s. — ISBN 5114800906 . .
Levin V. I. Historický a matematický výzkum . - díl 13. - M .: VINITI , 1960.