Nerovnice červeného trojúhelníku

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. května 2019; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Rougeova trojúhelníková nerovnost spojuje všechny párové množiny rozdílů tří množin v libovolné skupině .

Formulace

Nechte být skupinou a .

Potom , kde .

Trojúhelníková nerovnost se sčítáním

Existuje ještě jedna nerovnost [1] podobná Rougeově trojúhelníkové nerovnosti, kterou je však těžší dokázat než klasickou - pomocí Plünnecke-Rougeovy nerovnosti , která se sama dokazuje pomocí klasické Rougeovy nerovnosti.

Důkaz

Zvažte funkci definovanou jako . Pak pro každý obrázek existují alespoň různé inverzní obrázky formuláře . To znamená, že celkový počet předobrazů není menší než . Prostředek,

Analogie s trojúhelníkovou nerovností

Uvažujme funkci [2] [3] , která definuje „vzdálenost mezi množinami“ z hlediska Minkowského rozdílu:

Tato funkce není metrická , protože pro ni neplatí rovnost , ale je zjevně symetrická a Rougeova nerovnost pro ni přímo implikuje trojúhelníkovou nerovnost:

Důsledky

Nahrazení , dostáváme

Nahrazení , dostáváme

Nahrazení , dostáváme

.

Viz také

Poznámky

  1. M. Z. Garaev, Součty a součiny množin a odhady racionálních goniometrických součtů v polích prvočíselného řádu Archivováno 11. prosince 2017 na Wayback Machine , str. 17
  2. Textové shrnutí přednášky Haralda Helfgotta na St. Petersburg State University  (nepřístupný odkaz)
  3. Přednáška Haralda Helfgotta na St. Petersburg State University