Nerovnice červeného trojúhelníku

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. května 2019; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Rougeova trojúhelníková nerovnost spojuje všechny párové množiny rozdílů tří množin v libovolné skupině .

Formulace

Nechte být skupinou a . $(G,+)$ $U,V,W\subset G$

Potom , kde . $|U|\cdot |VW|\leq |VU|\cdot |UW|$ $AB=\left\lbrace {ab:a\v A,b\v B}\vpravo\rbrace$

Trojúhelníková nerovnost se sčítáním

Existuje ještě jedna nerovnost [1] podobná Rougeově trojúhelníkové nerovnosti, kterou je však těžší dokázat než klasickou - pomocí Plünnecke-Rougeovy nerovnosti , která se sama dokazuje pomocí klasické Rougeovy nerovnosti.

|U|\cdot |V+W|\leq |V+U|\cdot |U+W|

Důkaz

Zvažte funkci definovanou jako . Pak pro každý obrázek existují alespoň různé inverzní obrázky formuláře . To znamená, že celkový počet předobrazů není menší než . Prostředek, $\varphi :(VU)\times (UW)\to (VW)$ $\varphi (x,y)=x+y$ $vw\in VW$ $|U|$ $(vu,uw),u\in U$ $|VW||U|$ $|U||VW|\leq |VU||UW|$

Analogie s trojúhelníkovou nerovností

Uvažujme funkci [2] [3] , která definuje „vzdálenost mezi množinami“ z hlediska Minkowského rozdílu:

${\displaystyle \rho (A,B)=\log {\frac {|AB|}{\sqrt {|A||B|))))$

Tato funkce není metrická , protože pro ni neplatí rovnost , ale je zjevně symetrická a Rougeova nerovnost pro ni přímo implikuje trojúhelníkovou nerovnost: $\rho (A,A)=0$