Mechanické vyvážení

Mechanická rovnováha  je stav mechanického systému , ve kterém je součet vektorů všech sil působících na každou z jeho částic roven nule a součet momentů všech sil působících na těleso vzhledem k libovolné libovolné ose rotace. se také rovná nule [1] .

V rovnovážném stavu je těleso v klidu (vektor rychlosti je roven nule) ve zvolené vztažné soustavě nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře.

Aby bylo těleso v rovnováze, musí být součet všech sil působících na těleso roven nule.

Definice prostřednictvím energie systému

V mechanice kontinua , kde je přijata hypotéza kontinuity, taková definice není použitelná. Navíc tato definice neříká nic o jedné z nejdůležitějších charakteristik rovnováhy - její stabilitě . Obecnější a obecnější definice mechanické rovnováhy je tedy následující: Mechanická rovnováha  je stav systému, ve kterém je jeho poloha v konfiguračním prostoru v bodě s nulovým gradientem potenciální energie .

Protože energie a síly jsou spojeny základními závislostmi, je tato definice ekvivalentní té první. Definici z hlediska energie však lze rozšířit, abychom získali informaci o stabilitě rovnovážné polohy.

Typy rovnováhy

Existují tři typy rovnováhy těl: stabilní, nestabilní a indiferentní. Rovnováha se nazývá stabilní, pokud se těleso po malých vnějších vlivech vrátí do původního rovnovážného stavu. Rovnováha se nazývá nestabilní, jestliže při mírném posunutí tělesa (nevrací se do původní polohy) z rovnovážné polohy je výslednice sil na ni působících nenulová a směřující z rovnovážné polohy. Rovnováha se nazývá indiferentní, jestliže při malém posunutí tělesa z rovnovážné polohy je výslednice sil na něj působících rovna nule [1] .

Uveďme příklad pro systém s jedním stupněm volnosti . V tomto případě postačující podmínkou pro rovnovážnou polohu bude přítomnost lokálního extrému potenciální energie ve studovaném bodě. Jak známo, podmínkou lokálního extrému diferencovatelné funkce je rovnost nuly její první derivace . K určení, kdy je tento bod minimem nebo maximem, je nutné analyzovat jeho druhou derivaci. Stabilita rovnovážné polohy je charakterizována následujícími možnostmi:

Nestabilní rovnováha

V případě, kdy je druhá derivace záporná, je potenciální energie systému ve stavu lokálního maxima. To znamená, že rovnovážná poloha je nestabilní . Pokud je systém posunut o malou vzdálenost, bude pokračovat ve svém pohybu v důsledku sil působících na systém. To znamená, že když je tělo v nerovnováze, nevrátí se do původní polohy.

Stabilní rovnováha

V případě, kdy je druhá derivace kladná, je potenciální energie systému ve stavu lokálního minima. To znamená, že rovnovážná poloha je stabilní (viz Lagrangeův teorém o rovnovážné stabilitě ). Pokud se systém posune o malou vzdálenost, vrátí se zpět do stavu rovnováhy. Rovnováha je stabilní, pokud těžiště těla zaujímá nejnižší polohu ve srovnání se všemi možnými sousedními polohami. S takovou rovnováhou se nevyrovnané tělo vrátí na své původní místo. Pokud je druhá derivace v bodě větší než nula ( ), pak je bod bodem stabilní rovnováhy. Opak nemusí být nutně pravdivý: stabilní rovnovážný bod může mít druhou derivaci rovnou nule. Například funkce má stabilní rovnovážný bod v nule, ale druhá derivace v nule je nula.

Lhostejná rovnováha

V této oblasti se energie nemění a rovnovážná poloha je lhostejná . Pokud se systém posune o malou vzdálenost, zůstane v nové poloze. Pokud tělo vychýlíte nebo pohnete, zůstane v rovnováze. Funkce je lokálně konstantní.

Stabilita v systémech s velkým počtem stupňů volnosti

Pokud má systém několik stupňů volnosti, pak se může ukázat, že s odchylkami v určitém směru je rovnováha stabilní, ale pokud je rovnováha nestabilní alespoň v jednom směru, pak je nestabilní i obecně. Nejjednodušším příkladem takové situace je rovnovážný bod typu „sedlo“ nebo „průchod“.

Rovnováha soustavy s několika stupni volnosti bude stabilní pouze tehdy, bude-li stabilní ve všech směrech.

Poznámky

  1. ↑ 1 2 Kabardin O. F. Fyzika. - M., Osvěta, 1985. - Str. 32-36

Odkazy