Obecná dynamická rovnice

Obecná rovnice mechaniky je matematickou formulací d'Alembert-Lagrangeova principu , který dává obecnou metodu řešení úloh dynamiky a statiky a je jedním ze základních principů teoretické mechaniky .( [1] S.142) princip spojuje princip možných posunů a d'Alembertův princip

Rovnováha mechanické soustavy

Pro volné těleso, tedy těleso, na které nejsou uvalena žádná omezení, je podmínka rovnováhy v kartézském souřadnicovém systému určena nulovou rovností součtů průmětů sil působících na každou složku systému na souřadnicové osy a součty všech momentů sil působících na těleso vzhledem k těmto osám:

$\Sigma F_{x}(i)=\Sigma F_{y}(i)=\Sigma F_{z}(i)=0$ (jeden)

a (2) $\Sigma (M_{x}(i)=\Sigma (M_{y}(i)=\Sigma (M_{z}(i)=0$

Splnění těchto podmínek bude indikovat, že zvolená vztažná soustava je inerciální a proto v této vztažné soustavě bude těleso buď v klidu, nebo se bude pohybovat bez otáčení (včetně rotace) rovnoměrně a přímočaře.( [1] S.601)

Splnění těchto podmínek však nestačí k udržení rovnováhy bez ohledu na vnější vlivy na systém. K tomu musí být udržitelný .

Rovnováha soustavy je považována za stabilní, pokud se při mírném porušení její konzervativnosti, tj. změně součtu její kinetické a potenciální energie ( [1] S. 309) vnějším vlivem, její složky mírně odchýlí od rovnovážné polohy. a vrátit se k němu po ukončení vlivu.

Pro konzervativní systémy je postačující podmínka pro rovnováhu soustavy určena Lagrangeovou-Dirichletovou větou , podle níž je rovnováha stabilní, pokud poloha její rovnováhy odpovídá minimální potenciální energii ( [1] S. 797).

Mechanické spoje

Není-li těleso volné kvůli vazbám, které jsou na něj uloženy, určují rovnováhu systému ty vzorce (1) a (2), které se nevztahují na reakce vazeb. Zbytek rovnic poskytuje informace, které umožňují určit reakce vazeb, což je možné, pokud vazby pevně fixují systém a brání jakémukoli pohybu v něm ( [1] S.601). V opačném případě nutnost vzít v úvahu vazebné reakce a zavést je do pohybové rovnice vytváří problém, který není v žádném případě vždy řešitelný. [2]

Princip možných posunů

Změna stavu mechanické soustavy je určena změnou jejích souřadnic , které určují počet stupňů volnosti . V mnoha případech je jejich počet omezen spoji, které zabraňují určitým změnám silovým působením na součásti systému. Zbývající možnosti změny souřadnic jsou určeny možnými posuny .

Princip možných posunů je jedním z variačních principů ve vědě o pohybu těles. Stanovuje všeobecnou podmínku rovnováhy pro mechanický systém. Rovnováhou se v tomto případě rozumí takový stav mechanické soustavy podléhající vlivu sil, ve kterém všechny hmotné body tvořící soustavu nemění svou polohu, to znamená, že jsou vůči této soustavě v klidu. Pokud je tato rovnováha pozorována v inerciální soustavě , nazývá se taková rovnováha absolutní , v neinerciální soustavě bude rovnováha pouze relativní .( [1] S.601)

Tento princip říká:

Pro rovnováhu mechanické soustavy s ideálními (neprovádějícími) vazbami je nutné a postačující, aby součet práce všech činných sil působících na soustavu při jakémkoli možném posunutí soustavy byl roven nule ( [1] str. 81)

$\Sigma (\delta A(i)=\Sigma (F(i)\cos \alpha (i)\delta s(i)=0$ (3)

$\delta A(i)$ existuje elementární práce vykonávaná "aktivními silami" směřujícími pod úhlem ke směru virtuálního posunutí $F(i)$ $\alpha (i)$ $\delta s(i)$

Výhrada k činným silám počítá s nepřítomností setrvačných sil, tedy s uvažováním možných posunů v inerciální vztažné soustavě.

Podstatné je, že počet činných sil zahrnuje i reakce vazeb, které jsou obtížné a v některých případech vůbec nepřístupné matematickému popisu. V tomto případě se ukazuje jako efektivní uvažovat absolutně tuhé vazby , které nejsou deformovatelné a tudíž nepracují. Stejně jako inerciální referenční soustavy jsou takové vazby abstrakcí, přijatelnou pouze za podmínky, že chyby vyplývající z jejich přijetí nepřesahují dříve dohodnutou hodnotu. Ale za předpokladu, že vazby jsou absolutně tuhé, je možné při řešení problému rovnováhy mechanické soustavy z hlediska principu možných posuvů obecně vyloučit z uvažování reakci vazby .( [2 ] S.178 −189)

d'Alembertův princip

V případě uvažování mechanických systémů, které nejsou ve stavu rovnováhy, nelze vazebné reakce ignorovat. Při zachování předpokladu absolutní rigidity těchto vazeb se však ukazuje, že v tomto případě pojem vazby ztratil svůj fyzikální obsah a zmizela možnost vyjádření reakcí vazeb v závislosti na souřadnicích [2 ] , proto je nemožné psát diferenciální pohybové rovnice.

Cestu z tohoto problému navrhl d'Alembert.

Druhý Newtonův zákon je zapsán ve tvaru:

${m_{i}}{\vec a}$ = + (4) ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}_{b},$

kde se reakční síla vazeb přičte k síle působící na těleso ${\vec F}_{b}$

Poté se všechny podmínky rovnosti přenesou doleva:

( - ) + = 0 (5) ${\vec {F}}$ ${m_{i}}{\vec a}$ ${\vec F}_{b}$

Objevuje se rovnováha sil, která umožňuje formálně uplatnit princip možných posunů. A proto zde bylo možné nebrat v úvahu reakční síly vazeb [2] .

Ale síla (- ) není nic jiného než reakční síla z Newtonova třetího zákona nebo Newtonova síla setrvačnosti , která není aplikována na těleso. Zde se díky umělé technice přichytí k tomuto tělu. Vznikla tak paradoxní situace, která spočívá v tom, že na těleso působí vzájemně se kompenzující síly, ale těleso se přesto pohybuje se zrychlením. ${m_{i}}{\vec a}$

Proto síla (- ), která se nazývá d'Alembertova síla setrvačnosti díky tomu, že není důsledkem objektivních fyzikálních procesů, ale produktem subjektivní vůle, je jistě fiktivní [2] . ${m_{i}}{\vec a}$

Princip d'Alembert-Lagrange

Na začátku d'Alembertův princip neobsahoval žádnou zmínku o silách setrvačnosti. Ale postupem času se pod vektorem (- ) začala chápat síla setrvačnosti [3] (Odkaz v [2] S.131). ${m_{i}}{\vec a}$

V mechanické soustavě s ideálními spoji je součet elementárních prací vykonaných činnými silami a setrvačnými silami při jakémkoli možném (virtuálním) posunutí roven nule.

Obecná rovnice dynamiky

Píše se to takto:

\Sigma (\delta A_{a}(i)+\delta A_{j}(i))=0

(6)

nebo jinak:

\Sigma (F_{a}(i)\cos \alpha (i)+F_{j}(i)\cos \beta (i))\delta s(i)=0.

(7)

Zde je elementární práce vykonaná "aktivními silami" - indexem x = a (tj. silami, jejichž původ lze v zásadě vysledovat) a Eulerovými silami indexu setrvačnosti - x = j (tj. silami vznikajícími působením jiné činné síly ne na sebe i -tou složku soustavy, ale na vztažnou soustavu, která v důsledku toho změnila své zrychlení). $\delta A_{x}(i)$

V (7) se předpokládá, že práce je způsobena silou směřující pod úhlem pro činnou sílu a pod úhlem pro setrvačnou sílu ke směru virtuálního posunutí . $F_{x}(i)$ $\alpha (i)$ $\beta (i)$ $\delta s(i)$

Poznámka

Obecná rovnice mechaniky bere v úvahu práci setrvačných sil spolu s prací sil činných. To znamená, že z hlediska obecných principů mechaniky ve vztahu k silám setrvačnosti (přesněji k Eulerovým silám setrvačnosti) „... je třeba uznat, že nemáme žádný dobrý důvod pochybovat o realitě sil. setrvačnosti...“ ( [2] str. 178)

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fyzikální encyklopedický slovník / kap. vyd. A. M. Prochorov. Red.col. D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov a další - M .: Sov. encyklopedie, 1983.-323 s., il, 2 listy barev il.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Chajkin, Semjon Emmanuilovič . Síly setrvačnosti a beztíže . M., 1967. Nakladatelství "Věda". Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury.
↑ Sborník Nikolaje E. L. „Sborník Leningradského průmyslového institutu“ č. 6,1936, ONTI, Leningrad