Unie množin

Sjednocení množin (také součet nebo spojení ) v teorii množin je množina, která obsahuje všechny prvky původních množin. Spojení dvou množin a je obvykle označeno ∪ , ale někdy můžete najít zápis jako součet . $A$ $B$ $A$ $B$ $A+B$

Definice

Spojení dvou množin

Nechat dvě sady a být dán . Pak je jejich spojení souborem $A$ $B$

A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.

Spojení rodiny množin

Nechť je dána rodina množin . Pak její spojení je množina sestávající ze všech prvků všech množin rodiny: $\{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.$

\bigcup \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \exists \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.

Vlastnosti

Sjednocení množin je binární operace na libovolném Boolean $2^{X};$
Operace set union je komutativní : $A\pohár B=B\pohár A;$
Operace set union je asociativní : $(A\pohár B)\pohár C=A\pohár (B\pohár C);$
Operace sjednocení sady je distributivní vzhledem k operaci průniku : [1] $\left(\velká čepice _{k}A_{k}\vpravo)\pohár B=\velkáčepička _{k}\left(A_{k}\pohár B\vpravo)$
Prázdná množina je neutrálním prvkem operace sjednocení množin: $X$ $A\cup\emptyset =A;$
Boolean je tedy spolu s operací sjednocení množin monoid ;
Operace set union je idempotentní : $A\pohár A=A.$

Příklady

Nechte Pak $A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.$

A\pohár B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\};

$\bigcup \limits _{n\in \mathbb {Z} }[n,n+1]=\mathbb {R} .$

Poznámky

↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 2. Reálná čísla // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 66. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .