Operátor Schrödinger

Schrödingerův operátor je diferenciální operátor formuláře:

H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j))}\Delta _{j}+\součet _{i<j}^{n} v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\součet _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})

Je to operátor eliptického singulárního okrajového problému . Matematická teorie Schrödingerových operátorů se používá v kvantové mechanice [1] , diferenciální geometrii (důkaz Gauss-Bonnetovy věty [2] ), topologii (v Morseově teorii při dokazování Morseovy nerovnosti [3] ). Umožňuje četná zobecnění [4] . Za určitých podmínek na potenciálech a je samoadjungovaným operátorem s všude hustou doménou definice v prostoru čtvercových integrovatelných funkcí [5] [6] . Tato vlastnost je ekvivalentní jedinečné řešitelnosti nestacionární Schrödingerovy rovnice [6] . Je to velmi důležité pro základy kvantové mechaniky, protože kvantově mechanické pozorovatelné veličiny popisují pouze samoadjungované operátory. V kvantové mechanice je Schrödingerův operátor energetickým operátorem systému nabitých částic v souřadnicové reprezentaci. Při přibližném popisu chování částice ve vnějším poli nebo systému dvou interagujících částic je Schrödingerův operátor definován v prostoru čtvercových integrovatelných funkcí a má tvar: , kde je trojrozměrný prostorový vektor [ 1] . $v_{ij}(x)$ $v_{j}(x)$ $\psi (x_{1},\tečky ,x_{n}))$ $n$ $H=-\Delta +v(x)$ $X$

Jednorozměrný Schrödingerův operátor

Jednorozměrný Schrödingerův operátor má tvar:

H_{1}=-{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+v(z)

kde je jednorozměrný prostorový vektor. V případě nekonečně rostoucího potenciálu při , je jeho spektrum diskrétní, jednoduché. V případě harmonického oscilátoru - . Vlastní čísla a vlastní funkce , kde , jsou Hermitovy polynomy . $z$ $v(z)\rightarrow \infty$ $\left|z\right|\rightarrow \infty$ ${\displaystyle v(z)=z^{2))$ $\lambda _{n}=2n+1$ $\psi _{n}(z)=e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}H_{n}(z)$ $n=0,1,2,\tečky$ $H_{n}(z)$

Dostatečné kritérium pro samoadjungování Schrödingerova operátoru

Pro Schrödingerův operátor pro systém částic definovaných na hladkých konečných funkcích: $n$

H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j))}\Delta _{j}+\součet _{i<j}^{n} v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\součet _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})

postačujícími podmínkami pro nezbytnou samosvornost jsou tyto podmínky:

\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{ij}^{2}(x)<\infty

\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{j}^{2}(x)<\infty

a za podmínek: $\left|x\right|\geqslant R$

\left|v_{ij}(x)\right|\leqslant M

\left|v_{j}(x)\right|\leqslant M

Oblast definice uzávěru Schrödingerova operátoru se v tomto případě shoduje s doménou definice uzávěru operátoru [5] . ${\displaystyle -\sum _{j=1}^{n}\Delta _{j))$

Poznámky

↑ 1 2 Jeřáb, 1972 , str. 430.
↑ Tsikon, 1990 , str. 291.
↑ Tsikon, 1990 , str. 265.
↑ Jeřáb, 1972 , str. 435.
↑ 1 2 Jeřáb, 1972 , str. 441.
↑ 1 2 Tsikon, 1990 , str. 9.

Literatura

Kerin S. G. Funkční analýza. - M. : Nauka, 1972. - 544 s.
Zikon H., Froese R., Kirsch W., Simon B. Schrödinger operátory s aplikacemi pro kvantovou mechaniku a globální geometrii. — M .: Mir, 1990. — 408 s. — ISBN 5-03-001422-5 .