Schwartz-Christoffel mapování

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. listopadu 2020; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Schwartz-Christoffel teorém je teorém v teorii funkcí komplexní proměnné , pojmenoval podle německých matematiků Karla Schwartze a Alvina Christoffela .

Formulace

Předpokládejme, že je to nějaký -gon a funkce provádí konformní mapování na . Pak to může být reprezentováno jako $P\subset \mathbb {C}$ $n$ $F$ ${\displaystyle {\mathbb {H} }^{+))$ $P$ $F$

f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n}(\zeta -a_{k})^{\alpha _ {k}-1}d\zeta +C_{2}

kde jsou inverzní obrazy vrcholů na reálné ose , jsou radiánové míry odpovídajících vnitřních úhlů děleno (tj. rozvinutý úhel odpovídá nulovému stupni) a jsou takzvané doplňkové parametry . Integrál na pravé straně má své jméno - nazývá se Schwarz-Christoffelův integrál prvního druhu . $a_1,\tečky,a_n$ $P$ $\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{n}$ $\pi$ $C_{1}$ $C_{2}$

Pokud je inverzní obraz jednoho z vrcholů mnohoúhelníku v nekonečnu, pak je vzorec mírně upraven. Pokud má -tý vrchol jako předobraz nekonečně vzdálený bod, bude vzorec vypadat takto $n$

f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n-1}(\zeta -a_{k})^{\ alfa _{k}-1}d\zeta +C_{2}

to znamená, že multiplikátor odpovídající tomuto vrcholu bude prostě chybět. Takový integrál bude Schwarz-Christoffelův integrál druhého druhu .

Potíž při použití těchto vzorců je v tom, že body , stejně jako doplňkové parametry, jsou obecně neznámé. Pro jejich výpočet se obvykle na polygon uvalují nějaké další normalizace nebo se výpočet provádí přibližně (což se v praxi používá). $a_1,\tečky,a_n$

Schwarz-Christoffelův integrál
Schwarz-Christoffelův integrál
Hvězda Schwartz-Christoffelův integrál
Hvězda uvnitř integrálu Schwarz-Christoffel