Kleinův paradox v grafenu

Kleinovým paradoxem v grafenu je průchod jakýchkoli potenciálních bariér bez zpětného rozptylu v pravém úhlu. Tento efekt je způsoben tím, že spektrum proudových nosičů v grafenu je lineární a kvazičástice se řídí Diracovou rovnicí pro grafen. Efekt byl teoreticky předpovězen v roce 2006 [1] pro obdélníkovou bariéru.

Teorie

Kvazičástice v grafenu jsou popsány dvourozměrným Hamiltoniánem pro bezhmotné Diracovy částice

{\hat {H}}=-i\hbar v_{F}\sigma \cdot \nabla ,

kde je Planckova konstanta dělená 2 π, je Fermiho rychlost, je vektor vlevo z Pauliho matic , je operátor nabla . Nechť existuje potenciální bariéra s výškou a šířkou a nechť je energie dopadajících částic . Poté z řešení Diracovy rovnice pro oblasti vlevo od bariéry (index I), v samotné bariérě (II) a vpravo od bariéry (III) budou zapsány ve tvaru roviny vlny jako u volných částic : $\hbar$ $VF}$ $\sigma =(\sigma _{x},\sigma _{y})$ $\nabla =(\nabla _{x},\nabla _{y})$ $V_{0}$ $D$ $E$

\psi _{I}({\mathbf {r}})={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{{i\phi }} \end{pmatrix}}e^{{i(k_{x}x+k_{y}y)}}+{\frac {r}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1 \\se^{{i(\pi -\phi )}}\end{pmatrix}}e^{{i(-k_{x}x+k_{y}y)}},

\psi _{{II}}({\mathbf {r}})={\frac {a}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\s'e^{{i \theta }}\end{pmatrix}}e^{{i(q_{x}x+k_{y}y)}}+{\frac {b}{{\sqrt {2}}}}{\začátek {pmatrix}1\\s'e^{{i(\pi -\theta )}}\end{pmatrix}}e^{{i(-q_{x}x+k_{y}y)}},

\psi _{{III}}({\mathbf {r}})={\frac {t}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{{i\phi }}\end{pmatrix}}e^{{i(k_{x}x+k_{y}y)}},

kde jsou akceptována následující označení pro úhly , , a vlnové vektory v I-té a III-té oblasti , a v II-té oblasti pod bariérou , znaky následujících výrazů a . Neznámé koeficienty , amplitudy odražených a prošlých vln, v tomto pořadí, se zjistí z kontinuity vlnové funkce na hranicích potenciálu. $\phi =\arctan {(k_{y}/k_{x})}$ $\theta =\arctan {(k_{y}/q_{x})}$ $k_{x}=k_{F}\cos {\phi }$ $k_{y}=k_{F}\sin {\phi }$ $q_{x}={\sqrt {(V_{0}-E)^{2}/\hbar ^{2}v_{F}^{2}-k_{y}^{2))}$ $s={\mathrm {sign}} (E)$ $s'={\mathrm {sign}}(E-V_{0})$ $r$ $t$

Pro koeficient prostupu jako funkci úhlu dopadu částice byl získán následující výraz [2]

T(\phi )={\frac {\cos ^{2}{\theta }\cos ^{2}{\phi }}{[\cos {(Dq_{x})}\cos {\phi }\ cos {\theta }]^{2}+\sin ^{2}{(Dq_{x})[1-ss^{{'}}\sin {\phi }\sin {\theta }]^{2 }}}}.

Obrázek vpravo ukazuje, jak se mění koeficient prostupu v závislosti na šířce svodidla. Je ukázáno, že maximální průhlednost bariéry je vždy pozorována při nulovém úhlu a v některých úhlech jsou možné rezonance.

Poznámky

↑ Katsnelson M.I. , et. al. "Chirální tunelování a Kleinův paradox v grafenu" Nature Physics 2 , 620 (2006) doi : 10.1038/nphys384 Preprint Archived 12. července 2015 na Wayback Machine
↑ Cond-mat Castro Neto AH Archivováno 12. července 2015 na Wayback Machine