Paradox kinetické energie

Paradox kinetické energie je myšlenkový experiment v rámci klasické mechaniky , údajně naznačující porušení Galileiho principu relativity . Když se změní rychlost tělesa, přírůstek jeho kinetické energie v jedné vztažné soustavě se nerovná přírůstku v jiné vztažné soustavě. To údajně implikuje existenci referenčních systémů, kde je porušen zákon zachování energie a v důsledku toho je údajně porušen princip relativity Galilea.

Interní motor

Představte si autíčko s hnací pružinou, která dokáže uchovat potenciální energii . Ztráty energie třením zanedbáme . Nechte tuto energetickou rezervu urychlit hračku na rychlost . Přejděme k další inerciální vztažné soustavě , která se pohybuje vzhledem k Zemi směrem k autu rychlostí . Z hlediska tohoto referenčního systému je rychlost hračky před zrychlením rovna a kinetická energie rovna . Rychlost hračky po zrychlení se rovná kinetické energii . Kinetická energie vozu se tedy zvýšila o , což převyšuje energetickou rezervu na jaře [1] . $W$ $proti$ $proti$ $proti$ $W$ $2v$ $4W$ $3W$ $W$

Vysvětlení paradoxu

Paradox se vysvětluje tím, že výše uvedená úvaha nezohledňuje změnu hybnosti a kinetické energie Země při zrychlování hračky. Pokud vezmeme v úvahu změnu hybnosti a kinetické energie Země, pak je paradox vysvětlen. Rotační pohyb Země prozatím zanedbejme .

Přesuňme se do referenčního rámce, ve kterém jsou Země a hračka zpočátku nehybné. Po zrychlení hračky, v souladu se zákonem zachování hybnosti, můžete napsat rovnici , kde je hmotnost hračky, je rychlost hračky, je hmotnost Země, je rychlost Země. V souladu se zákonem zachování energie lze rovnici napsat . Vyjádřením rychlosti Země z rovnice a dosazením do rovnice dostaneme [1] . $mv+MV=0$ $m$ $proti$ $M$ $PROTI$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $PROTI$ $mv+MV=0$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)$

Přejděme k vztažné soustavě, ve které se Země a hračka zpočátku pohybují rychlostí . Po zrychlení hračky, v souladu se zákonem zachování hybnosti, můžete napsat rovnici , kde je rychlost Země po zrychlení hračky. V souladu se zákonem zachování energie lze napsat rovnici pro změnu kinetické energie . Z rovnice vyjádříme rychlost Země a dosadíme ji do předchozí rovnice. dostáváme . Po jednoduchých transformacích dostaneme . To znamená, že v tomto případě je změna kinetické energie celého systému rovna potenciální energii pružiny [2] . $proti$ $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$ $V_{1}$ $\delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+ M )v^{2}}{2}}$ $V_{1}$ $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$ $\delta E=3{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {M}{2}}\left[(1-{\frac {m}{M}}) ^{2}v^{2}-v^{2}\right]$ $\delta E={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)=W$ $W$

Změna kinetické energie hračky v nové vztažné soustavě je třikrát větší než ve vztažné soustavě spojené se Zemí, protože k ní dochází nejen díky potenciální energii pružiny, ale také díky na skutečnost, že kola hračky v nové vztažné soustavě zpomalují Zemi [2] .

Vezměme nyní v úvahu rotaci Země způsobenou hračkou. Kinetická energie rotace Země se také objeví na pravé straně vzorce . Bude stejného řádu jako kinetická energie translačního pohybu Země , proto v referenční soustavě, kde byla Země nehybná, ji lze stejně jako energii translačního pohybu Země zanedbat a lze předpokládat, že všechny potenciální energie pružiny se přemění na kinetickou energii hračky. V referenčním rámci, kde jsou rychlosti hračky a Země stejné na začátku , bude kinetická energie rotace Země stejná jako v prvním referenčním rámci, protože změna úhlové rychlosti Země je stejný ve všech inerciálních vztažných soustavách. Proto lze ve druhé vztažné soustavě zanedbat energii rotace [3] . $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $proti$

Vnější síla

Uvažujme těleso s hmotností pohybující se rychlostí . Na toto těleso nechejte nějakou dobu působit konstantní síla směřující po stejné přímce jako rychlost . Mění rychlost těla z hodnoty na hodnotu . V důsledku působení této síly bude změna kinetické energie tělesa rovna . $m$ $v_{1}$ $t$ $F$ $v_{1}$ $v_{1}$ $v_{2}$ ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})$

Nyní se přesuneme k jiné vztažné soustavě a pohybujeme se vzhledem k předchozí vztažné soustavě rovnoměrně a přímočaře rychlostí nasměrovanou podél stejné přímky jako rychlost . V této vztažné soustavě bude změna kinetické energie stejná , to znamená, že bude menší než v první vztažné soustavě, což není v souladu s Galileovým principem relativity [4] . $proti$ $v_{1}$ ${\frac {m}{2}}((v_{2}-v)^{2}-(v_{1}-v)^{2})={\frac {m}{2} }(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})$

Vysvětlení paradoxu

Princip relativity vyžaduje, aby byly ve dvou uvažovaných vztažných soustavách dodržovány stejné fyzikální zákony. Musí být tedy splněn zákon zachování energie , podle kterého se změna energie tělesa musí rovnat práci vnějších sil. Proto v prvním systému musí být vztah pravdivý . Zde je délka dráhy, kterou urazilo těleso v prvním systému za dobu, během které se rychlost zvýšila z na . Protože se tělo pohybuje se zrychlením , pak . ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=Fs$ $s$ $v_{1}$ $v_{2}$ ${\frac {F}{m))$ $s=v_{1}t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}$

ve druhém systému . Zde je délka dráhy, kterou urazí tělo ve druhém systému . Takže, . Od té doby . Tedy . ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})=Fs_{1}$ $s_{1}$ $s_{1}=(v_{1}-v)t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}$ $s-s_{1}=vt$ ${\frac {F}{m}}=a={\frac {(v_{2}-v_{1})}{t}}$ $t={\frac {m(v_{2}-v_{1})}{F)),s-s_{1}={\frac {mv(v_{2}-v_{1}) }{F}}$ $F(s-s_{1})=mv(v_{2}-v_{1})$

Práce vnější síly v první vztažné soustavě je o tolik větší než ve druhé, jako je změna kinetické energie v první soustavě větší než ve druhé. Protože v prvním systému je změna energie rovna práci vnějších sil, platí to i pro druhý systém. V důsledku toho není Galileův princip relativity porušen [4] .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Butikov, 1989 , str. 73.
↑ 1 2 Butikov, 1989 , str. 74.
↑ Butikov, 1989 , s. 75.
↑ 1 2 Shaskolskaya M. P. , Eltsin I. A. Sbírka vybraných úloh z fyziky. - M., Nauka, 1986. - str. 24, 111

Literatura

E.I. Butikov , A.A. Bykov , A.S. Kondratiev . Fyzika v příkladech a problémech. - M. : Nauka, 1989. - 464 s. — ISBN 5-02-014057-0 .
Házení míče z jedoucího auta // Mark Levi. Proč kočky přistávají na nohou. Princeton University Press, 2012. s. 74-76.