Parametrický oscilátor

Parametrický oscilátor je oscilátor, jehož parametry se mohou v určité oblasti měnit.

Parametrický oscilátor patří do třídy neuzavřených oscilačních systémů, ve kterých je vnější vliv redukován na změnu jeho parametrů v čase. Změny parametrů, jako je vlastní frekvence kmitání ω nebo faktor tlumení β, vedou ke změně dynamiky celého systému.

Známým příkladem parametrického oscilátoru je dítě na houpačce, kde periodicky se měnící výška těžiště znamená periodickou změnu momentu setrvačnosti, což vede ke zvýšení amplitudy kmitání houpačky [3, s. . 157]. Dalším příkladem mechanického parametrického oscilátoru je fyzické kyvadlo, jehož závěsný bod vykonává daný periodický pohyb ve vertikálním směru, nebo matematické kyvadlo, jehož délka závitu se může periodicky měnit.

Hojně používaným příkladem parametrického oscilátoru v praxi je parametrický oscilátor používaný v mnoha oblastech. Periodická změna kapacity diody pomocí speciálního obvodu zvaného „čerpadlo“ vede ke klasickým oscilacím varaktorového parametrického oscilátoru. Parametrické oscilátory byly vyvinuty jako nízkošumové zesilovače, které jsou zvláště účinné v rádiovém a mikrovlnném frekvenčním rozsahu. Protože se v nich periodicky mění ne aktivní (ohmické), ale reaktivní odpory, tepelný šum v takových generátorech je minimální. V mikrovlnné elektronice funguje vlnovod / YAG založený na parametrickém oscilátoru stejným způsobem. Za účelem vybuzení parametrických oscilací v systému návrháři periodicky mění parametr systému. Další třídou zařízení, která často využívají metodu parametrických oscilací, jsou frekvenční měniče, konkrétně převodníky z audio na rádiové frekvence. Například optický parametrický oscilátor převádí vstupní laserovou vlnu na dvě výstupní vlny s nižší frekvencí (ωs, ωi). Pojem parametrické rezonance úzce souvisí s parametrickým oscilátorem.

Parametrická rezonance je zvýšení amplitudy kmitů v důsledku parametrického buzení. Parametrické buzení se liší od klasické rezonance, protože vzniká v důsledku dočasné změny parametrů systému a je spojeno s jeho stabilitou a stabilitou .

Matematika

Parametry jednorozměrného oscilátoru pohybujícího se třením jsou jeho hmotnost , koeficient pružnosti a koeficient tlumení . Pokud tyto koeficienty závisí na čase a , pak má pohybová rovnice tvar $m$ $k$ $\beta$ $m=m(t),k=k(t),\beta =\beta (t)$

{\frac {d}{dt}}(m{\tečka {x}})+\beta {\tečka {x}}+kx=0,

$(jeden)$

Změňme časovou proměnnou → , kde , čímž dostaneme rovnici (1) do tvaru $t$ $\tau$ $d\tau=dt/m(t)$

{\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}+\beta {\frac {dx}{d\tau }}+kmx=0,

$(2)$

Udělejme další substituci → : $x(\tau)$ $q(\tau )$

q(\tau )=\exp ^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ tau }\beta (\xi )d\xi ,

$(3)$

Tím se zbavíte tlumícího členu:

{\frac {d^{2}q}{d\tau ^{2}}}+\delta ^{2}(\tau )q=0,\delta ^{2}(\tau )= km-{\frac {\dot {\beta }}{2}}-{\frac {\beta ^{2}}{4}},

$(čtyři)$

Ve skutečnosti tedy bez ztráty obecnosti postačí místo rovnice (1) uvažovat pohybovou rovnici tvaru

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)x=0,

$(5)$

který by byl získán z rovnice (1) s . $m=const$

Je zajímavé, že na rozdíl od případu konstantní frekvence není analytické řešení rovnice (5) v obecné podobě známé. V konkrétním případě periodické závislosti je rovnicí (5) Hillova rovnice a v případě harmonické závislosti je to speciální případ Mathieuovy rovnice . Rovnici (5) je nejlepší studovat v případě, kdy se kmitočet kmitů mění harmonicky vzhledem k nějaké konstantní hodnotě. ${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2))$ $\omega (t)$ $\omega (t)$

1. Uvažujme případ , kdy má rovnice (5) tvar $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon ) t]x=0,

$(6)$

Kde je frekvence vlastních harmonických oscilací, amplituda variací harmonické frekvence , konstanta je malá odchylka frekvence. Správnou změnou původu času lze konstantu h zvolit kladnou, proto bez ztráty obecnosti budeme předpokládat, že . Namísto řešení rovnice (6) si položme skromnější otázku: při jakých hodnotách parametru dochází k prudkému nárůstu amplitudy kmitů, to znamená, že řešení neomezeně roste? Lze ukázat [1], že se to stane, když $\omega_{0}$ $h\ll 1$ ${\displaystyle \varepsilon \ll \omega _{0))$ $h>0$ $\varepsilon$ $x(t)$

-{\frac {5}{24}}<{\frac {\varepsilon }{h^{2}\omega _{0}}}<{\frac {1}{24}},

$(7)$

2. Uvažujme případ , kdy má rovnice (5) tvar $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,

$(8)$

Jinými slovy, harmonická změna volných vibrací nastává s frekvencí . V tomto případě nastává parametrická rezonance, až termíny , kdy $y=2\omega _{0}+\varepsilon$ $h^{2}$

-{\frac {1}{32}}h-{\frac {1}{2}}<{\frac {\varepsilon }{h\omega _{0}}}<-{\frac { 1}{32}}h+{\frac {1}{2}},

$(9)$

Zejména uvádíme podmínky pro parametrickou rezonanci pro malé kmity matematického kyvadla se závěsným bodem kmitajícím ve svislé poloze, pro které mají rovnice kmitání tvar

{\ddot {\phi }}+\omega _{0}^{2}[1+{\frac {4a}{l}}\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t ]\phi =0,

$(deset)$

kde a . V případě, kdy a omezíme se na expanzi prvního řádu v , získáme to $\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l))$ $h={\frac {4a}{l))$ $a\ll l$ $h$

-{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}}<\varepsilon <{\frac {2a{\sqrt {g}}}{ l^{\frac {3}{2)))),

$(11)$

Skutečnost, že parametrická rezonance se vyskytuje v blízkosti frekvence volných kmitů a její dvojnásobné hodnoty , není náhodná. Lze ukázat (viz např. [2]), že v případě rovnice ${\displaystyle \omega =\omega _{0))$ ${\displaystyle \omega =2\omega _{0))$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

$(12)$

Parametrická rezonance nastává, když

\omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}},n=1,2,...,

$(13)$

Hlavní rezonance nastává při dvojnásobku vlastní frekvence harmonického kyvadla a šířka rezonance je rovna . Je také důležité, aby v přítomnosti tření (viz rovnice (2)) v rovnici $\omega_{0}$ $h\omega _{0}$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}[1+ h\cos(\omega t)]x=0,

$(14)$

Fenomén parametrické rezonance neprobíhá u žádného , ale pouze u těch . Tedy za přítomnosti tření $h\ll 1$ ${\displaystyle h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))))$

{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma }}<h\ll 1,

$(15)$

což umožňuje posílit nebo zeslabit fenomén parametrické rezonance správnou volbou parametrů , , a , v závislosti na praktické potřebě. $\gamma$ $\omega _{0}$ $h$

Odkazy

Příklad parametrické nestability [1]

Brownův parametrický oscilátor [2]

Literatura

[1] L. D. Landau a E. M. Lifshits. Kurz teoretické fyziky I. Mechanika. Moskva. Věda. 1973 str. 103-109

[2] A. M. Fedorčenko. Teoretická mechanika. 1975. Kyjev. postgraduální škola. 516 str.

[3] K. Magnus. Oscilace: Úvod do studia oscilačních systémů. 1982. Moskva. Svět. 304 str.