Povrch Morina

Morinův povrch je přechodný model pro everzi koule , objevený Bernardem Morinem. Povrch má čtyřnásobnou rotační symetrii .

Pokud má původní koule, která má být obrácena naruby, zelený zevnějšek a červený vnitřek, pak při transformaci koule homotopií na Morinův povrch bude polovina Morinova povrchu viditelná zvenčí zelená a druhá polovina červená:

Polovina Morinova povrchu odpovídá vnějšímu povrchu koule (zelená),
se kterou je homeomorfní, a druhá symetrická polovina odpovídá vnitřnímu povrchu koule (červená).

Potom otočení povrchu o 90° kolem jeho osy symetrie změní jeho barvy, tj. změní polaritu (uvnitř-vně) orientovatelného povrchu, takže opakování kroků homotopie z přesně stejné pozice v opačném pořadí k originálu koule po otočení Morinovým povrchem vznikne koule , jejíž vnější strana je červená a vnitřní strana zelená, tedy obrácená koule. Níže jsou uvedeny kroky pro otáčení:

1. koule: zelená venku, červená uvnitř...
2. převést na...
3. Morinův povrch,
3'. povrch Morin je otočen o 90°...
2'. inverzní transformace na...
1'. koule: červená venku, zelená uvnitř.

Morinův povrch

Morinův povrch lze rozdělit do čtyř shodných sekcí. Tyto sekce zde mohou být označovány jako Východ, Jih, Západ a Sever nebo sekce 0, sekce 1, sekce 2 a sekce 3, v tomto pořadí.

Východní část povrchu Moriny.

Morinův povrch má čtyři body, kterými prochází osa symetrie. Tyto čtyři body jsou počátečními a koncovými body šesti čar kotevních bodů. Každá ze čtyř sekcí je ohraničena třemi z těchto čar uzlových bodů, takže každá ze čtyř sekcí je homeomorfní trojúhelníku. Východní část je nyní znázorněna schematicky: Obrázek ukazuje východní část ohraničenou třemi smyčkami ABCDA, AEFGA a AHIJA. Třetí smyčka, AHIJA, je linie kotevních bodů, kde se východní část protíná. Smyčka ABCDA je čára hotspotu, která spojuje východní část se západní částí, a smyčka AEFGA je čára hotspotu, která spojuje východní část s jižní částí. Tečka zde ve skutečnosti překrývá čtyři různé tečky: .

${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3))$

Zde je návod, jak východní sekce souvisí s ostatními sekcemi: nechť je každá její ohraničující smyčka definována uspořádanými 4 body, pak

(A_{1},B,C,D,A_{3})=(A_{1},D'',C'',B'',A_{3})

(A_{2},E,F,G,A_{3})=(A_{2},H',I',J',A_{3})

(A_{1},H,I,J,A_{2})=(A_{1},E''',F''',G''',A_{2})

kde body bez tahu patří do sekce 0 (východ), body s jedním tahem patří do sekce 1 (jih), body se dvěma tahy patří do sekce 2 (západ) a body se třemi tahy patří do sekce 3 (sever).

Zbývající tři smyčky spojují sekce následovně:

(A_{2},B',C',D',A_{0})=(A_{2},D''',C''',B''',A_{0})

(A_{3},E',F',G',A_{0})=(A_{3},H'',I'',J'',A_{0})

(A_{0},E'',F'',G'',A_{1})=(A_{0},H''',I''',J''',A_{ jeden}).

Východní část má sama o sobě jednu smyčku kotevních bodů: AHIJA. Pokud je plocha rozložená, plochý výsledek bude následující: což je homeomorfní trojúhelník:

Spojením čtyř trojúhelníkových sekcí v jejich švech vznikne čtyřstěn : který je homeomorfní ke kouli, což ukazuje, že Morinův povrch je koule, která se sama protíná.

Galerie povrchů Morin

Čtyři různé pohledy na Morinův povrch: první dva jsou zobrazeny s vyříznutými „přechodovými bariérami“, poslední dva jsou pohledy „zespodu“.

Morinův analytický povrch

Morinův povrch lze elegantně popsat soustavou rovnic [1] buď v otevřené verzi (s póly v nekonečnu), nebo uzavřené.

Galerie povrchů Morin

Viz také

Sférická everze

Poznámky

↑ Bednorz, Bednorz, 2017 .

Literatura

Adam Bednorz, Witold Bednorz. Everze analytické sféry s minimem topologických událostí. — 2017.

Odkazy

„Turning a Sphere Inside Out“ Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine
Historie Sphere Evertions archivována 11. července 2020 na Wayback Machine