Rungeovo pravidlo

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. května 2019; kontroly vyžadují 12 úprav .

Rungeovo pravidlo - pravidlo pro odhadování chyby numerických metod navrhl K. Runge na počátku 20. století. [jeden]

Hlavní myšlenkou (pro Runge-Kuttovy metody řešení ODR ) je vypočítat aproximaci zvolenou metodou s krokem h a poté s krokem h/2 a dále zvážit rozdíly chyb pro tyto dva výpočty.

Aplikace Rungeova pravidla

Odhad přesnosti výpočtu určitého integrálu

Integrál se vypočítá pomocí zvoleného vzorce (obdélníky, lichoběžníky, Simpsonovy paraboly) s počtem kroků rovným n a poté s počtem kroků rovným 2n. Chybu ve výpočtu hodnoty integrálu s počtem kroků rovným 2n určuje Rungeův vzorec: , pro vzorce obdélníků a lichoběžníků a pro Simpsonův vzorec . [2]
$\Delta _{{2n}}\přibližně \Theta |I_{{2n}}-I_{{n}}|$ $\Theta ={\frac {1}{3}}$ $\Theta ={\frac {1}{15}}$

Integrál se tedy vypočítá pro po sobě jdoucí hodnoty počtu kroků , kde je počáteční počet kroků. Proces výpočtu končí, když další hodnota N splňuje podmínku , kde je zadaná přesnost. $N=n_{0},2n_{0},4n_{0},\tečky$ $n_{0}$ $\Delta _{2n}<\varepsilon$ $\varepsilon$

Odhad přesnosti numerického řešení ODR

Používá se také k odhadu přesnosti řešení obyčejných diferenciálních rovnic na pravidelných sítích. Pro odhad je potřeba vyřešit problém na 2 mřížkách, jednou s krokem h ( ) a podruhé s krokem h/2 ( ). vzorec [3] $y_{{i,h}}$ $y_{{i,h/2}}$

${|y_{i,h}-y_{i,h/2}|} \over {2^{p}-1}$

dává chybu řešení . Tím je míněno pořadí přesnosti použité numerické metody. Například pro numerickou metodu, která má čtvrtý řád přesnosti, má vzorec tvar: $y_{{i,h/2}}$ $p$

${1 \over 15}|y_{{i,h}}-y_{{i,h/2}}|$

Poznámky

↑ Ivan P. Gavrilyuk, "2.4 A posteriori odhad chyb a automatické generování sítě." // Schémata přesných a zkrácených rozdílů pro ODE s hraniční hodnotou, Springer, 2011, ISBN 9783034801072 , strany 76-77: "První možností je klasická technika, kterou navrhl Carl Runge."
↑ Ogorodnikov A. S., Orlov O. V., 6. Rungeovo pravidlo pro odhadování chyby integrace Archivní kopie ze dne 14. září 2013 na Wayback Machine // Laboratorní práce č. 4. Numerická integrace, Laboratorní workshop na kurzu "Numerické metody" (ENIN) Archivováno 8. prosince 2015 na Wayback Machine , Tomsk Polytechnic University
↑ P. V. Vinogradova, A. G. Ereklintsev, 8. NUMERICKÉ ŘEŠENÍ OBYČEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC PRVNÍHO ŘADU Archivováno 14. září 2013 na Wayback Machine // NUMERICKÉ METODY Archivováno 4. března the1 NUMERICAL METHODS Archived March 4, 2016 na Eastern State University

Literatura

RUNGE RULE // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Berezin I. S., Zhidkov N. P. , Computational Methods, 3. vydání, svazek 1, M., 1966; 2. vyd., díl 2, M., 1962;
Moderní numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, přel. z angličtiny, M., 1979. A. B. Ivanov.

Odkazy

Osokin AE, 4.7 Rungeovo pravidlo pro odhad chyb. Richardsonova extrapolace. Archivní kopie ze dne 24. května 2013 na Wayback Machine // ÚVOD DO NUMERICKÝCH METOD ANALÝZY A LINEÁRNÍ ALGEBRA Archivní kopie ze dne 1. ledna 2013 na Wayback Machine , Gorno-Altai State University, 2002