Fockův stav

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. srpna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Fockův stav je kvantově mechanický stav s přesně definovaným počtem částic . Pojmenován po sovětském fyzikovi V. A. Fokovi .

Vlastnosti Fockových stavů

Ve Fockově stavu je n částic , kde n je celé číslo. $|n\rangle$

V základním stavu není jediné kvantum . Často se také nazývá vakuový stav. $|0\rozsah$ $|0\rozsah$

Při zvažování druhé kvantizace tvoří Fockovy stavy nejvhodnější základ Fockova prostoru .

Působení operátorů vytvoření a zničení na ně je celkem jednoduché. Řídí se následující Bose-Einsteinovou statistikou (případ částic s celočíselným spinem ):

a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle

a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle

|n\rangle ={1 \over {\sqrt {n!)}}}(a^{\dagger })^{n}|0\rangle

kde a jsou operátory zničení a vytvoření. Obdobné vztahy platí pro Fermi-Diracovu statistiku (pro částice s polocelým spinem ). $A$ ${\displaystyle a^{\dagger ))$

Z těchto vztahů vyplývá, že

<a^{\dagger }a>=n

Var(a^{\dagger }a)=0,

tedy měření počtu částic ve Fockově stavu vždy dává určitou hodnotu bez kolísání. $a^{\dagger }a$

Fockovy stavy nejsou vlastními funkcemi Hamiltoniánu obecně

Ve druhém kvantizačním formalismu je hustota Hamiltoniánu dána pomocí

{\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)

[1] ,

a obecný hamiltonián se zapisuje jako:

{\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*} (x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\proto {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}

Ve volné Schrödingerově teorii (tj. pro neinteragující částice v nerelativistické aproximaci) [1]

{\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{ (+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)

\int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x) =\delta _{nn'}

\psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)

kde je operátor anihilace. $a_n$

\therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^ {(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)

Pouze pro neinteragující částice a dojíždění; obecně nedojíždějí. Pro neinteragující částice ${\mathfrak {H}}$ $a_n$

{\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{( +)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_ {n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\ dýka }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N))

Pokud nebudou dojíždět, hamiltonián nebude mít výše uvedený výraz. V obecném případě tedy Fockovy stavy nejsou stavy systému s určitou energetickou hodnotou.

Energetické stavy

Fockovy stavy jsou vlastní funkce Hamiltoniánu pole : $H=\hbar \omega (a^{\dagger }a+1/2)$

H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,

kde je energie odpovídajícího stavu . $E_{n}$ $|n\rangle$

Dosazením Hamiltoniánu do výše uvedeného výrazu dostaneme:

\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{ 2}}\vpravo)|n\rozsah

V důsledku toho je stavová energie , kde je frekvence pole. $|n\rangle$ $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)$ $\omega$

Ještě jednou si všimneme, že energie nulového (základního) stavu c se liší od nuly a nazývá se nulová energie. $n=0$

Kolísání vakua

Viz také frekvence Rabi

Stav vakua neboli , je stav s nejnižší energií. Pro něj $|0\rozsah$

a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }.

Elektrické a magnetické pole a vektorový potenciál mají stejný tvar:

F({\vec {r)),t)=\varepsilon ae^{i(({\vec {k))\cdot {\vec {r)))-\omega t)}+

h.c.

Je snadné vidět, že hodnota operátoru pole tohoto stavu mizí ve stavu vakua:

\langle 0|F|0\rangle =0.

Lze však ukázat, že druhá mocnina operátoru pole není rovna nule.

Fluktuace vakua jsou zodpovědné za mnoho zajímavých jevů v kvantové optice, jako je Lambův posun a Casimirova síla .

Poznámky

↑ 1 2 Gross, 1999 , s. 189.

Viz také

Kvantový harmonický oscilátor

Odkazy

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). - 6. vydání, přepracované. — M.: Fizmatlit, 2004. — 800 s. - ("Teoretická fyzika", svazek III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
Schweber S., Úvod do relativistické kvantové teorie pole, [přel. z angličtiny. ], M., 1963.
Khoruzhy S. S., Úvod do algebraické kvantové teorie pole, Moskva, 1986.
Franz Gross. Relativistická kvantová mechanika a teorie pole. - Wiley-VCH, 1999. - ISBN 0471353868 .