Známky dělitelnosti

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. ledna 2022; kontroly vyžadují 7 úprav .

Znaménko dělitelnosti je algoritmus , který umožňuje poměrně rychle určit, zda je číslo násobkem předem určené jedničky [1] . Pokud znaménko dělitelnosti umožňuje zjistit nejen dělitelnost čísla předem určenou, ale i zbytek dělení, pak se nazývá znaménko equiresistance .

Značky dělitelnosti se zpravidla používají pro ruční počítání a pro čísla uváděná v určité poziční číselné soustavě (obvykle desítkové ).

Koncepty dělitelnosti, ekvidivizibility a ekvidistance

Jestliže pro dvě celá čísla a existuje celé číslo takové , že $A$ $b$ $q,$

b\,q=a,

pak říkáme, že číslo je dělitelné $A$ $b.$

Dvě celá čísla a jsou považována za stejně dělitelná , pokud buď jsou obě dělitelná nebo obě nejsou dělitelná [2] . $A$ $b$ $m,$ $m,$

Dvě celá čísla a jsou ekvidistantní při dělení přirozeným číslem (nebo jsou srovnatelné modulo ), pokud při dělení dávají stejný zbytek, to znamená, že existují celá čísla taková , že $A$ $b$ $m$ $m$ $m$ $q_{1},\,q_{2},\,r,$

a=m\,q_{1}+r,\;\;b=m\,q_{2}+r.

Obecné principy konstrukce

Nechť je třeba určit, zda je nějaké přirozené číslo dělitelné jiným přirozeným číslem. K tomu vezměte posloupnost přirozených čísel: $A$ $m$

A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\tečky ,\,A_{n},

takové, že:

$A_{0}=A;$
každý člen posloupnosti je určen předchozím;
$A_{i}<A_{{i-1}},\quad i=1,\,2,\,3,\,\tečky ,\,n-1;$
poslední člen posloupnosti je menší než $m,$ $0\leqslant A_{n}<m.$
všechny členy posloupnosti mají po dělení stejný zbytek $m$

Pokud je pak poslední člen této posloupnosti roven nule, pak je dělitelný , jinak není dělitelný. $A$ $m,$ $A$ $m$

Metoda (algoritmus) pro konstrukci takové posloupnosti bude požadovaným kritériem pro dělitelnost pomocí Matematicky jej lze popsat pomocí funkce, která určuje každý další člen posloupnosti v závislosti na předchozím: $m$ $f(x),$

A_{i}=f\left(A_{{i-1}}\vpravo),\quad i=1,\,2,\,3,\,\tečky ,\,n,

splňující následující podmínky:

když hodnota není definována; $x<m$ $f(x)$
když hodnota je přirozené číslo; $x\geqslant m$ $f(x)$
pokud pak $x\geqslant m,$ $f(x)<x;$
jestliže potom a jsou ekvivalentní $x\geqslant m,$ $f(x)$ $X$ $m$

Pokud je požadavek na ekvidělitelnost pro všechny členy posloupnosti nahrazen přísnějším požadavkem na ekvirezidualitu, pak posledním členem této posloupnosti bude zbytek dělení a metoda (algoritmus) pro konstrukci takové posloupnosti bude znak ekvi -reziduality od Vzhledem k tomu, že z rovnosti zbytku při dělení nulou vyplývá dělitelnost , lze jako znak dělitelnosti použít jakýkoli znak ekvireziduality. Matematicky lze znak equiresistance popsat také pomocí funkce, která určuje každý další člen posloupnosti v závislosti na předchozím: $A$ $m,$ $m$ $m$ $m$ $f(x),$

A_{i}=f\left(A_{{i-1}}\vpravo),\quad i=1,\,2,\,3,\,\tečky ,\,n,

splňující následující podmínky:

když hodnota není definována; $x<m$ $f(x)$
když hodnota je přirozené číslo; $x\geqslant m$ $f(x)$
pokud pak $x\geqslant m,$ $f(x)<x;$
jestliže potom a jsou při dělení stejně vzdálené $x\geqslant m,$ $f(x)$ $X$ $m$

Funkce

f(x)=xm,\quad x\geqslant m,

a sekvence vytvořená s její pomocí bude vypadat takto:

A,\,Am,\,A-2m,\,A-3m,\,\tečky

Ve skutečnosti je použití znaku equiresistance založeného na této funkci ekvivalentní dělení odečítáním.

Dalším příkladem je známý znak dělitelnosti (a také ekvireziduality) 10.

Pokud je poslední číslice v desítkové reprezentaci čísla nula, pak je toto číslo dělitelné 10; navíc poslední číslice bude zbytkem dělení původního čísla 10.

Matematicky lze tento znak stejné rezidua formulovat následovně. Nechť je třeba zjistit zbytek po dělení 10 přirozeného čísla znázorněného ve tvaru $A,$

A=10\,b+a,\quad 0\leqslant a<10,\quad b\geqslant 0.

Pak je zbytek po dělení 10 . Funkce popisující tento znak ekvireziduality bude vypadat $A$ $A$

f(A)=a,\quad A\geqslant 10.

Je snadné prokázat, že tato funkce splňuje všechny výše uvedené požadavky. Navíc sekvence sestavená s jeho pomocí bude obsahovat pouze jeden nebo dva členy.

Je také snadné vidět, že takové znaménko je zaměřeno konkrétně na desetinnou reprezentaci čísla - takže pokud jej například použijete na počítači, který používá binární zápis čísla, pak za účelem zjištění program by musel nejprve vydělit 10. $A$ $A$ $A$

Ke konstrukci znaků equiresistance a dělitelnosti se nejčastěji používají následující věty:

Pro jakékoli celé číslo a přirozená celá čísla a jsou stejně vzdálené, když je děleno $q$ $m$ $A$ $A+mq$ $m$
Pro jakékoli celé číslo , natural , celá čísla a jsou ekvidibilní tím , pokud je celé číslo coprime s $q$ $m$ $A$ $pA+mq$ $m,$ $p$ $m$

Příklad konstrukce znaků dělitelnosti a ekvidistance 7

Ukažme si aplikaci těchto teorémů na příkladu kritérií dělitelnosti a ekvisuficience na $m=7.$

Nechť je dáno celé číslo

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0.

Pak, za předpokladu z první věty , bude následovat, že bude stejně vzdálená při dělení číslem 7 $q=-a_{1}$ $A$

A'=A-7a_{1}=\left(10-7\right)a_{1}+a_{0}=3\,a_{1}+a_{0}.

Zapišme funkci znaménka stejné rezidua ve tvaru:

f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant A_{{min)),\\A-7,&7\leqslant A<A_{{min} }.\end{cases}}

A nakonec zbývá najít takové , aby pro jakoukoli podmínku byla splněna V tomto případě a funkce nabyla konečné podoby: $A_{{min}}\leqslant 7,$ $A\leqslant A_{{min}}$ $3\,a_{1}+a_{0}<A.$ $A_{{min}}=10$

f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}

A z druhé věty, za předpokladu a spolu se 7, bude plynout, že bude ekvidibilní 7 s číslem $q=3\,a_{1}$ $p=-2,$ $A$

A'=7\cdot 3a_{1}-2A=\left(21-20\right)a_{1}-2\,a_{0}=a_{1}-2\,a_{0}.

Vzhledem k tomu, že čísla a jsou ekvidibilní 7, zapíšeme funkci znaménka dělitelnosti ve tvaru: $A'$ $\left|A'\right|$

f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant A_{{min}},\\A-7,&7\leqslant A <A_{{min}}.\end{cases}}

A nakonec zbývá najít takové , aby pro jakoukoli podmínku byla splněna V tomto případě a funkce nabyla konečné podoby: $A_{{min}}\leqslant 7,$ $A\leqslant A_{{min}}$ $\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|<A.$ $A_{{min}}=10$

f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end {případy}}

Znaky dělitelnosti v desítkové číselné soustavě

Test dělitelnosti 2

Číslo je dělitelné 2 právě tehdy, když je jeho poslední číslice dělitelná 2, to znamená, že je sudé .

Funkce odpovídající funkcím (viz část "Obecné principy konstrukce" ):

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0},<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10\\A-2,&2\leqslant A<10.\end{cases}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance.

Znaménko dělitelnosti 3

Číslo je dělitelné 3 , když je součet jeho cifer dělitelný 3. Například číslo 159 je dělitelné 3, protože součet jeho cifer 1 + 5 + 9 = 15 je dělitelný 3.

Funkce odpovídající funkci:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\tečky \,n

F(A)={\begin{případy}{\součet _{{i=0}}^{n}a_{i}},&A\geqslant 10,\\A-3,&3\leqslant A<10. \end{cases}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance. Například čísla jsou 154 a jsou ekvidistantní, když je děleno 3. $1+5+4=10$ $1+0=1$

Test dělitelnosti 4

Číslo je dělitelné 4 , když jsou poslední dvě číslice nuly nebo jsou dělitelné 4. Například 14676 je poslední číslice 76 a číslo 76 je dělitelné 4: 76:4=19. Dvouciferné číslo je dělitelné 4 právě tehdy, když je dvojnásobek číslice na místě desítek přičtený k číslici na místě jedniček dělitelný 4. Například číslo 42 není dělitelné 4, protože není dělitelný 4. $2\cdot 4+2=10$

Funkce odpovídající funkci:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-4,&4\leqslant A<10.\end{cases}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance. Například čísla 87 a jsou stejně vzdálené, když je děleno 4. $8\cdot 2+7=23$ $2\cdot 2+3=7$

Jednodušší formulace: Číslo je dělitelné 4, pokud je poslední číslice 0, 4, 8 a předposlední číslice je sudá; nebo pokud je poslední číslice 2, 6 a předposlední číslice je lichá.

Znaménko dělitelnosti 5

Číslo je dělitelné 5 právě tehdy, když končí 0 nebo 5.

Funkce odpovídající funkci:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10,\\A-5,&5\leqslant A<10.\end{cases}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance.

Znaménko dělitelnosti 6

Číslo je dělitelné 6 právě tehdy, když je dělitelné 2 i 3 (tedy pokud je sudé a součet jeho číslic je dělitelný 3).

Další znak dělitelnosti: číslo je dělitelné 6 právě tehdy, když je čtyřnásobek počtu desítek přidaných k číslici na místě jedniček dělitelný 6.

Funkce odpovídající funkci:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}4\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-6,&6\leqslant A<10.\end{cases}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance. Například čísla 73 a jsou stejně vzdálené, když je děleno 6. $7\cdot 4+3=31,$ $3\cdot 4+1=13$ $1\cdot 4+3=7$

Znaménko dělitelnosti 7

Funkce 1 :

číslo je dělitelné 7 , když trojnásobek počtu desítek přidaných k jednotkové číslici je dělitelný 7. Například 154 je dělitelné 7, protože 7 je dělitelné 1001 je dělitelné 7, protože 7 je dělitelné $15\cdot 3+4=49.$ $100\cdot 3+1=301,\quad 30\cdot 3+1=91,\quad 9\cdot 3+1=28,\quad 2\cdot 3+8=14,\quad 1\cdot 3+4=7.$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance. Například čísla 87 a jsou stejně vzdálené, když je děleno 7. $8\cdot 3+7=31,$ $3\cdot 3+1=10$ $1\cdot 3+0=3$

Úpravy funkce 1 :

a) vezme se první číslice zleva, vynásobí se 3, přidá se další a vše se opakuje od začátku: například pro 154 :. V každém kroku můžete také provést zbytek dělení 7: zbytek 1, zbytek 0. V obou případech se konečné číslo rovná zbytku, když se původní číslo vydělí 7. $1\cdot 3+5=8,\quad 8\cdot 3+4=28$ $1\cdot 3+5=8$ $1\cdot 3+4=7$

b) pokud se od zbývajícího počtu desítek odečte dvojnásobek počtu jednotek čísla a výsledek je dělitelný 7, pak je číslo násobkem 7. Například: 784 je dělitelné 7, protože 78 − (2 × 4) = 78 − 8 = 70 ( ). $a_{1}-2\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}+7\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}+a_{0}=0{\bmod {7))$

Funkce 2 :

číslo je dělitelné 7 právě tehdy, když modul algebraického součtu čísel tvořících liché skupiny tří číslic (počínaje jedničkami), braný se znaménkem „+“ a sudý se znaménkem „-“, je dělitelný 7. Například 138 689 257 je dělitelné 7, protože 7 je dělitelné $|138-689+257|=294.$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\tečky \,n

F(A)={\begin{cases}\left|\součet _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,&A\ geqslant 1000,\\A-7,&7\leqslant A<1000.\end{cases}}

Znamení 3 :

je-li rozdíl mezi číslem sestávajícím z posledních tří číslic daného čísla a číslem vytvořeným ze zbývajících číslic daného čísla (tedy bez posledních tří číslic) dělitelný 7, pak je toto číslo dělitelné 7. Příklad pro číslo 1730736: 1730 − 736 = 994, 994 / 7 = 142.

Znaménko dělitelnosti 8

Číslo je dělitelné 8 , když jsou poslední tři číslice číslem dělitelným 8. Třímístné číslo je dělitelné 8 právě tehdy, když je číslice na místě jedniček plus dvojitá číslice na místě desítek a čtveřice číslice ve stovkách je dělitelná 8. Například 952 je dělitelné 8, protože 8 je dělitelné $9\cdot 4+5\cdot 2+2=48.$

Funkce odpovídající funkci:

A=1000\,a_{3}+100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{ 1}<10,\quad 0\leqslant a_{2}<10,\quad a_{3}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}4\,a_{2}+2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-8,&8\leqslant A<10. \end{cases}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance. Například čísla 567 a jsou stejně vzdálené, když je děleno 8. $5\cdot 4+6\cdot 2+7=39,$ $3\cdot 2+9=15$ $1\cdot 2+5=7$

Znaménko dělitelnosti 9

Číslo je dělitelné 9 , když je součet jeho číslic dělitelný 9. Například součet číslic 12345678 je dělitelný 9, takže samotné číslo je také dělitelné 9. $1+2+3+4+5+6+7+8=36.$

Funkce odpovídající funkci:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\tečky \,n

F(A)={\začátek{případů}\součet _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 10,\\0,&A=9.\konec{případů}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance. Například čísla 345 a jsou stejně vzdálené, když je děleno 9. $3+4+5=12$ $1+2=3$

Znaménko dělitelnosti 10

Číslo je dělitelné 10 právě tehdy, když končí nulou .

Funkce odpovídající této funkci je:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=a_{0},\quad A\geqslant 10.

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance.

Znaky dělitelnosti 11

Funkce 1: Číslo je dělitelné 11 právě tehdy, když modul rozdílu mezi součtem číslic na lichých pozicích a součtem číslic na sudých pozicích je dělitelný 11. Například 9 163 627 je dělitelné 11, protože je dělitelné 11. Dalším příkladem je, že 99077 je dělitelné 11, protože je dělitelné 11. $\left|(9+6+6+7)-(1+3+2)\right|=22$ $\left|(9+0+7)-(9+7)\right|=0$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i}\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\tečky \ ,n,

F(A)=\left|\součet _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 11.

Znaménko 2: číslo je dělitelné 11 právě tehdy, když součet čísel tvořících skupiny dvou číslic (začínaje jednotkami) je dělitelný 11. Například 103785 je dělitelné 11, protože 11 je dělitelné a $10+37+85=132$ $01+32=33.$

Funkce odpovídající funkci:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\tečky \,n

F(A)={\začátek{případů}\součet _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\A-11,&11\leqslant A<100.\konec {případy}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance. Například čísla 123456 a jsou ekvidistantní, když je děleno 11. $12+34+56=102$ $1+2=3$

Znaménko dělitelnosti 13

Znaménko 1 : Číslo je dělitelné 13 , když součet počtu desítek se čtyřnásobnou číslicí na místě jednotek je dělitelný 13. Například 845 je dělitelné 13, protože 13 je dělitelné a $84+5\cdot 4=104$ $10+4\cdot 4=26.$

Znaménko 2 : Číslo je dělitelné 13 , když je rozdíl mezi počtem desítek s devítinásobným číslem na místě jednotek dělený 13. Například 845 je dělitelné 13, protože 13 je dělitelné $84-9\cdot 5=39.$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+4\,a_{0},&A\geqslant 40,\\A-13,&13\leqslant A<40.\end{cases}}

Funkce 3 : Číslo je dělitelné 13 , pokud je rozdíl mezi číslem sestávajícím z posledních tří číslic tohoto čísla a číslem vytvořeným ze zbývajících číslic tohoto čísla (tj. bez posledních tří číslic) dělitelný 13. Například 192218 je dělitelné 13, takže jako 218-192=26 a 26 je dělitelné 13.

Znaménko dělitelnosti 17

Číslo je dělitelné 17 v těchto případech:

- když je modul rozdílu mezi počtem desítek a číslicí násobenou 5 na místě jednotek dělen 17. Například 221 je dělitelné 17, protože je dělitelné 17. $\left|22-5\cdot 1\right|=17$

- když modul součtu počtu desítek a číslice vynásobené 12 v jednotkové číslici je dělitelný 17. Například 221 je dělitelné 17, protože je dělitelné 17. $\left|22+12\cdot 1\right|=34$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-5\,a_{0}\right|,&A\geqslant 40,\\A-17,&17\leqslant A<40.\end {případy}}

Znaménko dělitelnosti 19

Číslo je dělitelné 19 právě tehdy, když počet desítek přidaných k dvojcifernému místu na místě jedniček je dělitelný 19. Například 646 je dělitelné 19, protože 19 je dělitelné a $64+2\cdot 6=76$ $7+2\cdot 6=19.$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+2\,a_{0},&A\geqslant 20,\\0,&A=19.\end{cases}}

Znaménko dělitelnosti 20

Číslo je dělitelné 20 právě tehdy, když je číslo tvořené posledními dvěma číslicemi dělitelné 20.

Další formulace: číslo je dělitelné 20 právě tehdy, když poslední číslice čísla je 0 a předposlední číslice je sudá.

Funkce odpovídající této funkci je:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-20,&20\leqslant A<100.\end{cases}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance.

Testy na dělitelnost 23

Funkce 1 : Číslo je dělitelné 23 právě tehdy, když počet stovek přidaných ke ztrojnásobení čísla tvořeného posledními dvěma číslicemi je dělitelný 23. Například 28842 je dělitelné 23, protože 23 je dělitelné a $288+3\cdot 42=414$ $4+3\cdot 14=46.$

Vlastnost 2 : Číslo je dělitelné 23 právě tehdy, když počet desítek přidaných k číslici na místě jednotek vynásobený 7 je dělitelný 23. Například 391 je dělitelné 23, protože je dělitelné 23. $39+7\cdot 1=46$

Znaménko 3 : Číslo je dělitelné 23 právě tehdy, když počet stovek, sčítaný s číslicí na místě desítek vynásobenou 7 a číslice na místě s jednotkou trojnásobnou, je dělitelný 23. Například 391 je dělitelné 23, protože je dělitelné 23. $3+7\cdot 9+3\cdot 1=69$

Znaménko dělitelnosti 25

Číslo je dělitelné 25 právě tehdy, když jeho poslední dvě číslice jsou číslem, které je dělitelné 25. Jinými slovy, čísla končící 00, 25, 50 nebo 75 jsou dělitelná 25.

Funkce odpovídající této funkci je:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-25,&25\leqslant A<100.\end{cases}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance.

Znaménko dělitelnosti 27

Číslo je dělitelné 27 právě tehdy, když součet čísel tvořících skupiny tří číslic (počínaje jedničkami) je dělitelný 27.

Funkce odpovídající funkci:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\tečky \,n

F(A)={\začátek{případy}\součet _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-27,&27\leqslant A<1000.\konec {případy}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance.

Znaménko dělitelnosti 29

Číslo je dělitelné 29 právě tehdy, když je počet desítek přidaných ke ztrojnásobení jedniček dělitelný 29. Například 261 je dělitelné 29, protože je dělitelné 29. $26+3\cdot 1=29$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+3\,a_{0},&A\geqslant 30,\\0,&A=29.\end{cases}}

Znaménko dělitelnosti 30

Číslo je dělitelné 30 právě tehdy, když končí 0 a součet všech číslic je dělitelný 3. Například: 510 je dělitelné 30, ale 678 ne.

Znaménko dělitelnosti 31

Číslo je dělitelné 31 právě tehdy, když modul rozdílu mezi počtem desítek a trojčíslím na místě jedniček je dělitelný 31. Například 217 je dělitelné 31, protože je dělitelné 31. $\left|21-3\cdot 7\right|=0$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\left|a_{1}-3\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 31.

Znaménko dělitelnosti 37

Znaménko 1: číslo je dělitelné 37 právě tehdy, když při dělení čísla do skupin po třech číslicích (počínaje jednotkami) je součet těchto skupin násobkem 37.

Funkce odpovídající funkci:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\tečky \,n

F(A)={\začátek{případů}\součet _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-37,&37\leqslant A<1000.\konec {případy}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance.

Rys 2: Číslo je dělitelné 37 právě tehdy, když je modul trojnásobku počtu stovek, přičtený ke čtyřmístné číslici na místě desítek, dělitelný 37, mínus číslice na místě jedniček, vynásobený sedmi. Například číslo 481 je dělitelné 37, protože 37 je dělitelné číslem $\left|3\cdot 4+4\cdot 8-7\right|=37.$

Funkce odpovídající funkci:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)=\left|3\,a_{2}+4\,a_{1}-7\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 37.

Znaménko 3: Číslo je dělitelné 37 právě tehdy, když je modul součtu počtu stovek s číslicí na místě vynásobený deseti mínus číslice na místě desítek vynásobený 11 dělitelný 37. Např. , číslo 481 je dělitelné 37, jak tedy dělit 37 $\left|4-11\cdot 8+10\cdot 1\right|=74.$

Funkce odpovídající funkci:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}\left|a_{2}-11\,a_{1}+10\,a_{0}\right|,&A\geqslant 100,\\A-37,&37 \leqslant A<100.\end{cases}}

Znaménko dělitelnosti 41

Znaménko 1 : číslo je dělitelné 41 právě tehdy, když modul rozdílu mezi počtem desítek a čtyřnásobnou číslicí na místě jednotek je dělitelný 41. Například 369 je dělitelné 41, protože je dělitelné 41. $\left|36-4\cdot 9\right|=0$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\left|a_{1}-4\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 41.

Znaménko 2 : Chcete-li zkontrolovat, zda je číslo dělitelné 41, mělo by být rozděleno zprava doleva na obličeje po 5 číslicích. Poté v každém obličeji vynásobte první číslo vpravo 1, druhé číslo 10, třetí 18, čtvrté 16, páté 37 a sečtěte všechny výsledné produkty. Pokud je výsledek dělitelný 41, pak a pouze tehdy bude samotné číslo dělitelné 41.

Existují další (pohodlnější) kritéria pro dělitelnost 41, viz 41 (číslo) .

Znaménko dělitelnosti 50

Číslo je dělitelné 50 právě tehdy, když je číslo tvořené dvěma nejméně významnými desetinnými číslicemi dělitelné 50.

Funkce odpovídající této funkci je:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-50,&50\leqslant A<100.\end{cases}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance.

Znaménko dělitelnosti 59

Číslo je dělitelné 59 právě tehdy, když počet desítek přičtených k jedničkové číslici vynásobené 6 je dělitelný 59. Například 767 je dělitelné 59, protože 59 dělí a $76+6\cdot 7=118$ $11+6\cdot 8=59.$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+6\,a_{0},&A\geqslant 60,\\0,&A=59.\end{cases}}

Znaménko dělitelnosti 79

Číslo je dělitelné 79 právě tehdy, když počet desítek přičtených k jednotkové číslici vynásobené 8 je dělitelný 79. Například 711 je dělitelné 79, protože 79 je dělitelné 79 . $71+8\cdot 1=79$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+8\,a_{0},&A\geqslant 80,\\0,&A=79.\end{cases}}

Znaménko dělitelnosti 99

Číslo je dělitelné 99 právě tehdy, když součet čísel tvořících skupiny dvou číslic (počínaje jednotkami) je dělitelný 99. Například 12573 je dělitelné 99, protože 99 je dělitelné číslem $1+25+73=99.$

Funkce odpovídající funkci:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\tečky \,n

F(A)={\začátek{případy}\součet _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\0,&A=99.\konec{případů}}

Tato funkce kromě znaku dělitelnosti nastavuje i znak equiresistance. Například čísla 123456 a jsou ekvidistantní, když je děleno 99. $12+34+56=102$ $1+2=3$

Znaménko dělitelnosti 101

Číslo je dělitelné 101 právě tehdy, když je dělitelný modul algebraického součtu čísel, která tvoří liché skupiny dvou číslic (začínající jedničkami), braných se znaménkem „+“ a sudých čísel se znaménkem „-“. 101. Například 590547 je dělitelné 101, protože je dělitelné 101 $\left|59-5+47\right|=101.$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\tečky \,n

F(A)=\left|\součet _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 101.

Test dělitelnosti pro 1091

Číslo je dělitelné 1091 právě tehdy, když je rozdíl mezi počtem desítek a jednotkovou číslicí krát 109 dělitelný 1091. Například 18547 je dělitelné 1091, protože 1854 - 7 * 109 = 1091 je dělitelné 1091.

Obecné znaky dělitelnosti

Znaménko dělitelnosti dělitelem stupně základu číselné soustavy

Jestliže pro některá přirozená čísla a číslo je dělitelné přirozeným číslem, pak jakékoli celé číslo zapsané v základní číselné soustavě je stejně vzdálené s číslem tvořeným jeho nižšími číslicemi. Tato vlastnost umožňuje postavit znaménko dělitelnosti a ekvidistance k děliteli stupně základu číselné soustavy. $t$ $n$ $t^{n}$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=t^{n}a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<t^{n},\quad a_{1}\geqslant 0,\quad t^{n} \,\vtečky \,m,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}

Například v desítkové soustavě čísel to umožňuje vytvářet znaky dělitelnosti 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 atd.

Znaménko dělitelnosti dělitelem $t^{n}-1$

Jestliže pro některá přirozená čísla je číslo dělitelné přirozeným číslem, pak každé celé číslo zapsané v základní soustavě je stejně dělitelné se součtem čísel vzniklých dělením do skupin číslic, počínaje nejmenší. Tato vlastnost umožňuje sestrojit test dělitelnosti $t$ $n$ $t^{n}-1$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$ $m$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=\sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}-1\vpravo)\,\vtečky \,m,

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^ {n}.\end{cases}}

Například v desítkové soustavě čísel to umožňuje vytvářet znaky dělitelnosti 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 atd.

Znaménko dělitelnosti dělitelem $t^{n}+1$

Jestliže pro některá přirozená čísla a číslo je dělitelné přirozeným číslem, pak jakékoli celé číslo zapsané v základní číselné soustavě je ekvidibilní s modulem střídavého součtu čísel vzniklého dělením do skupin číslic, počínaje nejmenší. Tato vlastnost umožňuje sestrojit test dělitelnosti $t$ $n$ $t^{n}+1$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$ $m$

Funkce odpovídající této funkci je:

A=\sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}+1\vpravo)\,\vtečky \,m,

F(A)={\begin{cases}\left|\sum _{{i=0}}^{n}(-1)^{i}a_{i}\right|,&A\geqslant t^{ n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}

Například v desítkové soustavě čísel to umožňuje vytvářet znaky dělitelnosti 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 atd.

Dlouhé dělení

Doba běhu algoritmu, který kontroluje dělitelnost čísla nějakým jiným číslem dělením "ve sloupci" je . Takzvaná "kritéria dělitelnosti" tedy v mnoha případech neposkytují znatelný nárůst počtu provedených elementárních operací. Výjimkou jsou kritéria dělitelnosti čísly formuláře , jejichž běh nezávisí na velikosti kontrolovaného čísla. $n$ $O(\log n)$ ${\displaystyle 2^{a}5^{b))$

Znaky dělitelnosti v jiných číselných soustavách

Znaménka dělitelnosti v jiných číselných soustavách jsou podobná jako v desítkové soustavě. Zejména v jakémkoli číselném systému (čísla jsou zapsána v systému, ve kterém v tuto chvíli pracujeme):

číslo je dělitelné 10 n , pokud končí n nulami.

Je-li základem číselné soustavy 1 modulo nějaké číslo k (to znamená, že zbytek po dělení základu k je 1), pak je libovolné číslo dělitelné k právě tehdy, když je součet jeho cifer dělitelný k bez zbytek. Zejména:

číslo je dělitelné 10 − 1, je-li součet jeho číslic dělitelný 10 − 1;
je-li základ číselné soustavy lichý, pak je číslo dělitelné 2, je-li součet jeho cifer dělitelný 2.

Je-li základ číselné soustavy roven k − 1 modulo nějaké číslo k , pak je libovolné číslo dělitelné k právě tehdy, když součet číslic na lichých místech je buď roven součtu číslic na sudých místech, nebo se liší z něj číslem dělitelným na k beze zbytku. Zejména:

číslo je dělitelné 11, pokud se součet číslic na lichých místech rovná součtu číslic na sudých místech nebo se od něj liší číslem dělitelným 11.

Je-li základ číselné soustavy dělitelný nějakým číslem k , pak je libovolné číslo dělitelné k právě tehdy, je-li jeho poslední číslice dělitelná k . Zejména:

je-li základ číselné soustavy sudý, pak je číslo dělitelné 2, je-li jeho poslední číslice dělitelná 2.

Viz také

Pascalův test je univerzální test dělitelnosti, který umožňuje libovolná celá čísla a a b určit, zda je a dělitelné b . Přesněji řečeno, umožňuje odvodit téměř všechny výše uvedené vlastnosti.

Literatura

Vorobyov N. N. Známky dělitelnosti . - 4. vyd. - M. : Nauka, 1988. - T. 39. - 94 s. - ( Populární přednášky o matematice ). — ISBN 5-02-013731-6 .

Poznámky

↑ Z praktického hlediska „relativně rychle“ znamená „rychleji, než by bylo možné provést skutečné dělení“ stejnými prostředky. Navíc účinnost tohoto algoritmu do značné míry závisí na formě reprezentace čísel a dostupných výpočetních schopnostech.
↑ Vorobjov N. N. Známky dělitelnosti. - 4. vydání, Rev. - M . : Nauka, 1988. - S. 42. - ( Populární přednášky o matematice ). — ISBN 5-02-013731-6 .