Hertzův princip

Hertzův princip , známý také jako princip nejmenšího zakřivení nebo princip nejpřímější dráhy - jeden z variačních principů mechaniky, který říká, že při absenci jakýchkoli aktivních sil ( potenciální energie ) ze všech kinematicky možných (tj. povolenými vazbami) trajektorie, platná bude pouze ta jedna , která má nejmenší zakřivení [1] . Byl použit Hertzem pro stavbu mechaniky, ve které bylo působení aktivních sil nahrazeno zavedením příslušných omezení. Poprvé navržen v roce 1894.

Hertzův princip je často viděn jako zvláštní případ Gaussova principu nejmenšího omezení , zvláštní případ Maupertuisova principu, jak s ním zachází Jacobi , a zobecnění zákona setrvačnosti. Souvislost s Gaussovým principem je dána úměrností síly ke čtverci křivosti. Při ideálních spojeních mají Hertzův princip a Gaussův princip stejné matematické vyjádření.

Gauss-Hertzova křivka na dráze x (t) = x α (t) v Riemannově prostoru R n × l 2 , δ ij + δ αβ jsou minimální Lagrangeovy čtverce (součet řad funkcí, rovnoměrná konvergence) [2] .

Matematický výraz

V Hertzově principu je funkce Z matematicky vyjádřena takto:

Z=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}

Kinetická energie je zachována za těchto podmínek: $T$

T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\tečka {\ mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}

Protože čárový prvek v -rozměrném souřadném systému je definován vzorcem $ds^{2}$ $3N$

ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\ vpravo|^{2}

pak může mít tvar i zákon zachování energie

\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T

Při dělení se objeví další minimum: $Z$ $2T$

K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _ {j}}{ds^{2}}}\right|^{2}

Protože je lokální zakřivení trajektorie v -rozměrném souřadnicovém systému, minimalizace je ekvivalentní nalezení trajektorie s minimálním zakřivením ( geodetické ). ${\sqrt {K}}$ $3n$ $K$

Literatura

Princip nejmenšího zakřivení // Morshin - Nikish. - M . : Sovětská encyklopedie, 1974. - ( Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / šéfredaktor A. M. Prochorov ; 1969-1978, sv. 17).
Hertzův princip // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.
Hertz, H. (1896). principy mechaniky. Různé papíry. III. Macmillan.
Georgi Georgiev, Iskren Georgiev. Nejméně akce a metrika organizovaného systému // Otevřené systémy a informační dynamika. - 2002. - Ne. 9(4) . - S. 371-380 .
Constantin Udriste, Massimiliano Ferrara, Ionel Tevy, Oltin Dogaru, Armando Ciancio. Princip nejmenšího zakřivení Gauss a Hertz a geometrická dynamika // 9th WSEAS Int. Conf. na MATEMATIKA A POČÍTAČE V PODNIKÁNÍ A EKONOMICE (MCBE '08). - Bukurešť, Rumunsko, 2008. - 25. června. - str. 34-38 .