Hilbertův program

Hilbertův program v matematice formuloval německý matematik David Hilbert na počátku 20. století. Hilbert navrhl, že konzistence složitějších systémů, jako je teorie funkcí reálné proměnné , by mohla být prokázána v podmínkách jednodušších systémů. Nakonec, podle jeho návrhu, lze konzistenci veškeré matematiky zredukovat na jednoduchou aritmetiku .

Gödelův teorém neúplnosti ukázal, že Hilbertův program se nevztahuje na většinu oblastí matematiky.

Hlavní výroky Hilbertova programu

Hlavním cílem Hilbertova programu bylo poskytnout pevný základ celé matematice. Zejména by to mělo zahrnovat:

• Formulace veškeré matematiky ; jinými slovy, všechny matematické výroky musí být napsány přesným formálním jazykem a řízeny podle přesně definovaných pravidel.
• Úplnost : Důkaz, že všechna pravdivá matematická tvrzení mohou být formálně prokázána.
• Konzistence : Důkaz, že ve formalismu matematiky nelze získat žádný rozpor. Tento důkaz konzistence by měl přednostně používat pouze „konečné“ uvažování o konečných matematických objektech.
• Zachování : dokázat, že jakýkoli výsledek o „skutečných objektech“ získaný pomocí uvažování o „ideálních objektech“ (jako je nespočet množin) lze dokázat bez použití ideálních objektů.
• Algoritmická rozhoditelnost : Existuje algoritmus pro určení pravdivosti nebo nepravdivosti jakéhokoli matematického tvrzení.

Viz také

• Godelova věta o neúplnosti
• Peano aritmetika
• David Gilbert
• Tarského algoritmus

Literatura

• G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112:493-565. Přeloženo jako „Konzistence aritmetiky“ ve Sbírce prací Gerharda Gentzena , ME Szabo (ed.), 1969.
• D. Hilbert. 'Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie'. Mathematische Annalen 104:485-94. Přeložil W. Ewald jako 'Základy elementární teorie čísel', str. 266-273 v Mancosu (ed., 1998) Od Brouwera k Hilbertovi: Debata o základech matematiky ve 20. letech 20. století , Oxford University Press. New York.
• S.G. Simpson, 1988. Dílčí realizace Hilbertova programu . Journal of Symbolic Logic 53:349-363.
• R. Zach , 2006. Hilbertův program dříve a nyní. Philosophy of Logic 5:411-447, arXiv: math/0508572 [math.LO].