Jednoduchý prsten (algebra)

Jednoduchý prsten je takový prsten a v něm neexistují žádné oboustranné ideály jiné než a . $R$ ${\displaystyle R^{2}\neq \{0\))$ $R$ $R$ $\{0\}$

Příklady a věty

Uvažujme prsten takový, že , a aditivní skupina má prvočíslo. Pak je kruh jednoduchý, protože v . $R$ ${\displaystyle R^{2}\neq \{0\))$ $\langle R,+\rangle$ $R$ $\langle R,+\rangle$
Jakékoli pole je jednoduchý kruh, protože pole nemá žádné správné ideály .
Asociativní komutativní kruh s identitou je polem právě tehdy, když se jedná o jednoduchý kruh. $R$ $R$
Pokud je pole, je přirozené číslo , pak je maticový kruh jednoduchý. $P$ $n$ $\mathrm {Mat} (P,n)$

Wedderburnova věta

Nechť je jednoduchý prsten s identitou a minimálním levým ideálem. Pak je prsten izomorfní ke kruhu všech matic řádu přes nějaký divizní prsten . V tomto případě je tělo jednoznačně definováno a tělo je definováno až do izomorfismu. Naopak pro jakékoli tělo je prsten jednoduchý prsten. $R$ $R$ $n$ $n$ $D$ $\mathrm {Mat} (D,n)$

Literatura

Herstein I. Nekomutativní kruhy. — M.: Mir, 1972.
Jacobson N. Struktura prstenců. - M .: Nakladatelství zahraniční literatury, 1961.
Glukhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra: Učebnice. Ve 2 svazcích T. 2. - M .: Helios ARV, 2003.