Mersennovo číslo

Mersennovo číslo je číslo tvaru , kde je přirozené číslo ; taková čísla jsou pozoruhodná v tom, že některá z nich jsou prvočísla pro velké hodnoty . Jsou pojmenovány po francouzském matematikovi Marinu Mersennovi , který studoval jejich vlastnosti v 17. století. $M_{n}=2^{n}-1$ $n$ $n$

První Mersennova čísla [1] :

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, …

Vlastnosti

Pro všechny platí následující: pokud je složené, pak je také složené, což vyplývá z rozšíření: $M_{n}$ $n$ $n=kl,k,l>1$ $M_{n}$

2^{n}-1=2^{kl}-1=(2^{k}-1)(2^{k(l-1)}+2^{k(l-2)} +\tečky +1),

Okamžitě z toho vyplývá: číslo je prvočíslo pouze tehdy, je-li číslo také prvočíslo. Opačné tvrzení není v obecném případě pravdivé, nejmenší protipříklad je . $M_{n}$ $n$ $M_{{11}}=2047=23\cdot 89$

Libovolný dělitel složeného čísla pro prvočíslo má tvar , kde je přirozené číslo (je to důsledek Fermatovy malé věty ). $M_{p}$ $p$ $2\cdot p\cdot k+1$ $k$

Mersennova prvočísla jsou blízko příbuzná s dokonalými čísly . Euclid ukázal, že číslo tvaru , kde Mersennovo číslo je prvočíslo, je dokonalé. Euler dokázal, že tímto vzorcem jsou vyčerpána všechna sudá dokonalá čísla. (Pokud jde o lichá dokonalá čísla, o jejich existenci není dosud nic známo.) ${\tfrac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=2^{{p-1}}(2^{p}-1)$ $M_{p}$

Mersenne prvočísla

Pro všechna prvočísla tvaru je exponent vždy také prvočíslo, proto jsou studována zejména Mersennova čísla s prvočíslem [ 2] (v některých článcích jsou pouze taková čísla považována za Mersennova čísla). Sekvence Mersennových prvočísel začíná takto [3] : $2^{n}-1$ $n$ $M_{p}=2^{p}-1$ $p$

3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131 071, 524 287, 2 147 483 647 , 2 305 843 009 213 693 951 , 618 970 019 642 690 137 449 562 111 , 162 259 276 829 213 363 391 127 , 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 …

Exponenty známých Mersennových prvočísel tvoří posloupnost [4] [5] : $p$

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 3, 3 , 919 , 9191 , 23 209 , 44 497 , 86 243 , 110 503 , 132 049 , 216 091 , 756 839 , 859 433 , 1 257 787 , 1 398 269 , 2 976 221 , 3 021 377 , 6 972 593 , 13 466 917 20 996 211 , 24 036 583 , 25 964 951 , 30 402 457 , 32 582 657 , 37 156 667 , 42 643 801 , 25 964 951 , 43 112 748 1 , 7 748 1 , 7 709 5 , 32 582 657 , 37 156 667 , 42 643 801 , 25 964 951

Mersennova čísla získala slávu ve spojení s účinným algoritmem pro kontrolu jednoduchosti Mersennových čísel - Luc-Lehmerovým testem . Mersennova prvočísla proto dlouho držela prvenství jako největší známá prvočísla [6] . Mersennova prvočísla se také používají ke konstrukci generátorů pseudonáhodných čísel s velkými periodami [7] , jako je Mersennův vír .

Hledání Mersennových prvočísel

Největší známé prvočíslo (k lednu 2019) je Mersennovo číslo , které 7. prosince 2018 našel Patrick Laroche v rámci projektu dobrovolného počítání GIMPS . Desetinný zápis čísla obsahuje 24 862 048 číslic [8] . $M_{82589933}=2^{82589933}-1$ $M_{82589933}$

Celkem je k prosinci 2018 známo 51 Mersennových prvočísel, přičemž sériová čísla jsou spolehlivě stanovena pouze pro prvních 48 [9] čísel. Zejména není známo, zda existují další Mersennova prvočísla menší než ta známá rekordní. Je pozoruhodné, že 45. Mersennovo prvočíslo bylo nalezeno o dva týdny později než 47. známé Mersennovo prvočíslo , zatímco 46. známé Mersennovo prvočíslo bylo nalezeno až o rok později. $M_{37156667}$ $M_{{43112609}}$ $M_{42643801}$

V roce 2009 získal projekt GIMPS cenu 100 000 USD od Electronic Frontier Foundation za nalezení Mersennova prvočísla pro nalezení prvočísla, jehož desítkový zápis obsahuje alespoň 10 milionů číslic [10] . $M_{{43112609}}$

Variace a zobecnění

Dvojité Mersennovo číslo je číslo tvaru. Od ledna 2021 jsou známa pouze 4 prvočísla tohoto druhu (pro). $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$ $n=2,3,5,7$

Katalánská-Mersennova čísla jsou členy posloupnosti čísel začínající 2 a vytvořené aplikací funkcena předchozí člen; první prvky[11]: $2^{n}-1$ $n$

2, 3, 7, 127 , 170141183460469231731687303715884105727 …

Katalánština předpokládala, že tato čísla jsou prvočísla „do určitého limitu“.

Zobecněné Mersennovo číslo je číslo ve tvaru:

h^{0}+h^{1}+h^{2}+\dots +h^{n-1}={\frac {h^{n}-1}{h-1)) =M_{h,n}

Takové zobecnění je způsobeno tím, co může být reprezentováno jako součet prvních členů rostoucí geometrické progrese : $2^{n}-1$ $n$

2^{n}-1=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\tečky +2^{n-1}={\frac {2^{n}- 1}{2-1}}

jinými slovy, Mersennova čísla jsou speciálním případem zobecněných Mersennových čísel pro . Pro některé hodnoty a zobecněná Mersennova čísla jsou jednoduchá, například , , , , , a řada dalších. $h=2$ $h$ $n$ $M_{3,3}$ $M_{3,7}$ $M_{3,13}$ $M_{3,71}$ $M_{5,3}$ $M_{5,7}$ $M_{5,47}$

Otevřené problémy

Není známo, zda je množina Mersennových prvočísel konečná nebo nekonečná, neznámá je ani hustota jejich rozložení v množině přirozených čísel.

Není známo, zda prvočíslo Mersennova čísla existují pro . $n>7$

Poznámky

↑ OEIS sekvence A000225 _
↑ OEIS sekvence A001348 _
↑ OEIS sekvence A000668 _
↑ OEIS sekvence A000043 _
↑ Seznam známých Mersennových prvočísel . Skvělé internetové vyhledávání Mersenne Prime . Staženo: 9. prosince 2016.
↑ Největší známá prvočísla – shrnutí . The Prime Pages (26. prosince 2018). Staženo: 28. prosince 2018.
↑ R. P. Brent, P. Zimmermann. Generátory náhodných čísel s periodou dělitelnou Mersennovým prvočíslem // Lecture Notes in Computer Science. - 2003. - T. 2667 . - S. 1-10 .
↑ Alžběta Ivtushoková. Největší prvočíslo se zvýšilo o jeden a půl milionu znaků . nplus1.ru. Staženo: 23. prosince 2018. (Ruština)
↑ Milníky GIMPS . www.mersenne.org . Staženo: 5. dubna 2022. (neurčitý)
↑ Rekordní 12milionové prvočíslo v čisté výši 100 000 $
↑ OEIS sekvence A007013 _

Odkazy

Weisstein, Eric W. Mersenne Prime (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Mersenne Number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Double Mersenne Numbers (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Andrej Konjajev . Jednodušší nikde. Našel první číslo pět románů dlouhý "Válka a mír" // lenta.ru. — 12. února 2013.
Mersenne Prime Search Project ( GIMPS ) .
Projekt na hledání dělitelů dvojitých Mersennových čísel MM31, MM61, MM89, MM107, MM127 (angl.) .