Běžná Hadamardova matice

Běžná Hadamardova matice je Hadamardova matice, jejíž součty řádků a sloupců jsou stejné. Zatímco pořadí Hadamardovy matice musí být 1, 2 nebo násobek 4, běžné Hadamardovy matice splňují další omezení, že pořadí je dokonalý čtverec . Přebytek Hadamardovy matice H řádu n , označený E ( H ) , je definován jako součet prvků matice H. Přebytek splňuje omezení . Hadamardova matice dosáhne této hranice právě tehdy, když je regulární. $|E(H)|\leqslant n^{\tfrac {3}{2}}$

Možnosti

Jestliže je řád pravidelné Hadamardovy matice, pak její přebytek je , a součty řádků a sloupců jsou . Z toho vyplývá, že každý řádek má kladné i záporné prvky. Ortogonalita řetězců znamená, že jakékoli dva odlišné řetězce mají přesně stejný kladný prvek. Pokud je H interpretováno jako matice výskytu blokového návrhu , kde 1 představuje sousedství a −1 představuje nedopad, pak matice H odpovídá symetrickému návrhu s parametry . Design s těmito parametry se nazývá Menon design . $n=4u^{2}$ $\pm 8u^{3}$ $\pm 2u$ $2u^{2}\pm u$ $2u^{2}\mp u$ $u^{2}\pm u$ $2-(v,k,\lambda )$ $(4u^{2},2u^{2}\pm u,u^{2}\pm u)$

Budova

Nevyřešené úlohy v matematice : Jaké dokonalé čtverce mohou být řádem pravidelné Hadamardovy matice?

Je známo několik metod pro konstrukci pravidelných Hadamardových matic a bylo provedeno několik vyčerpávajících počítačových prohledávání pravidelných Hadamardových matic s určitými skupinami symetrie, ale není známo, zda každý i dokonalý čtverec je řádem pravidelné Hadamardovy matice. Hadamardovy matice Bushova typu jsou pravidelné Hadamardovy matice zvláštního druhu a jsou spojeny s konečnými projektivními rovinami .

Historie a pojmenování

Jako obecnější Hadamard matice, pravidelné Hadamard matice jsou pojmenované po Jacques Hadamard . Menonův design je pojmenován po indickém matematikovi P. Kishav Menonovi a matice typu Bush Hadamard jsou pojmenovány po Kenneth A. Bushovi.

Poznámky

Literatura

The CRC Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn CJ, Dinitz JH (ed.). - 2. vyd.. - Florida.: CRC Press, Boca Raton, 2006.
WD Wallis, Anne Penfold Street, Jennifer Seberry Wallis. Kombinatorika: Čtverce místností, sady bez součtů, Hadamardovy matice. — Berlín: Springer-Verlag, 1972.