Rostock (matematika)

Zárodek objektu na topologickém prostoru vyjadřuje lokální vlastnosti objektu. V jistém smyslu lze říci, že se jedná o nový objekt, který přebírá pouze lokální vlastnosti objektu, který jej zrodil (nejčastěji se jako takové objekty chovají mapování ). Je zřejmé, že různé funkce mohou definovat stejný zárodek. V tomto případě se všechny lokální vlastnosti (návaznost, hladkost atd.) takových funkcí shodují a postačí uvažovat vlastnosti nikoli funkcí samotných, ale pouze jejich zárodků. Důležitým bodem je zavedení konceptu lokality, takže zárodky jsou uvažovány pro objekty v topologickém prostoru.

Formální definice

Nechť je dán bod topologického prostoru a dvě zobrazení na libovolnou množinu . Pak to řekneme a definujeme stejný zárodek v , pokud existuje okolí bodu takové, že se omezení na a na shodují. to znamená, $X$ $X$ $f,\;g:X\to Y$ $Y$ $F$ $G$ $X$ $U$ $X$ $F$ $G$ $U$

f|_{U}=g|_{U}

(což znamená ). $\forall x'\in U,\;f(x')=g(x')$

Podobně se mluví o dvou podmnožinách : definují stejný zárodek, pokud existuje sousedství takové, že: $S,\;T\subset X$ $X$ $U$

S\cap U=T\cap U.

Je zřejmé, že přiřazení identických zárodků v určitém bodě je vztahem ekvivalence (na zobrazeních nebo množinách) a tyto třídy ekvivalence se nazývají zárodky (zárodky mapy nebo zárodky sady). Relace ekvivalence se obvykle označuje nebo . $X$ $f\sim _{x}g$ $S\sim _{x}T$

Zárodek dané mapy v bodě se obvykle značí . Podobně je zárodek definovaný množinou označen . $F$ $X$ $[f]_{x}$ $S$ $[S]_{x}$

[f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.

Zárodečné mapování bod po bodu je psáno , takže je to celá třída ekvivalence mapování a je obvyklé rozumět jakémukoli reprezentativnímu mapování. Lze také poznamenat, že dvě sady jsou ekvivalentní (definují stejný zárodek sady), pokud jsou jejich charakteristické funkce ekvivalentní (s ohledem na mapování zárodků): $x\in X$ $y\v Y$ $(X,\;x)\to (Y,\;y)$ $F$ $F$

S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.

Literatura

Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Úvod do h -principu . - M .: Moskevské centrum pro kontinuální matematické vzdělávání, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .