Trace (teorie pole)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. července 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Trace je mapování prvků konečného rozšíření pole na počáteční pole K , definované takto: $E\supset K$

Nechť E je konečné rozšíření K stupně , je prvkem pole E . Protože E je vektorový prostor nad polem K , tento prvek definuje lineární transformaci . Tato transformace v nějaké bázi může být spojena s maticí . Stopa této matice se nazývá stopa prvku α . Protože na jiném základě bude toto mapování odpovídat podobné matici se stejnou stopou, stopa nezávisí na volbě báze, to znamená, že každý prvek rozšíření je jednoznačně spojen se svou stopou. Označuje se nebo, pokud je jasné, o jaké rozšíření se jedná, jednoduše . $n=[E:K]$ $\alpha \v E$ $x\mapsto \alpha x$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha)$ ${\text{Tr}}(\alpha)$

Vlastnosti trasování

${\text{Tr))(\alpha +\beta )={\text{Tr))(\alpha )+{\text{Tr))(\beta )$
${\text{Tr))(c\alpha )=c{\text{Tr))(\alpha )$ v $c\in K$
Jestliže E je oddělitelná přípona , pak je nenulový funkcionál, pokud není oddělitelná, pak . ${\text{Tr}}_{K}^{E}$ ${\text{Tr}}_{K}^{E}=0$
Stopa je tranzitivní, to znamená pro řetězec rozšíření , které máme $K\podmnožina E\podmnožina F$ ${\text{Tr))_{K}^{E}({\text{Tr))_{E}^{F}(\alpha ))={\text{Tr))_{K}^{ F} (\alpha)$
Jestliže je jednoduché algebraické rozšíření a je minimálním polynomem α, pak $E=K(\alpha )$ $f(x)=x_{n}+a^{n-1}x_{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=-a_{{n-1}}$

Sledujte výraz z hlediska automorfismů E nad K

Nechť σ 1 ,σ 2 …σ m jsou všechny automorfismy E , které ponechávají prvky K pevné . Je-li E oddělitelné, pak m je rovno stupni [E:K]=n . Pak je zde následující výraz pro trasování:

${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _{m}(\alpha )$

Jestliže E není oddělitelné, pak m≠n , ale n je násobkem m a kvocient je určitý stupeň charakteristiky p: n=p i m .

Pak ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\ sigma _{m}(\alpha ))^{m/n}$

Příklad

Nechť K je těleso reálných čísel a E těleso komplexních čísel . Pak stopa čísla je . Stopu komplexního čísla lze vypočítat pomocí vzorce , a to dobře souhlasí se skutečností, že komplexní konjugace je jediným automorfismem oboru komplexních čísel. $a+bi$ $2a$ ${\text{Tr}}\;z=z+{\bar z}$

Viz také

Norm (teorie pole)

Literatura

Van der Waerden B. L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O. , Samuel P. Komutativní algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967