Spektrální sekvence

V homologické algebře a algebraické topologii je spektrální sekvence prostředkem k výpočtu skupin homologie postupnými aproximacemi. Od jejich zavedení Jeanem Lerayem se staly důležitým výpočetním nástrojem, zejména v algebraické topologii, algebraické geometrii a homologické algebře.

Formální definice

Opravujeme abelovskou kategorii , jako je kategorie modulů přes prsten . Spektrální sekvence se skládá z vybraného nezáporného celého čísla r 0 a sady tří sekvencí:

Pro všechna celá čísla r ≥ r 0 platí objekty E r , nazývané listy,
Endomorfismy d r : E r → E r splňující d r o d r = 0, nazývané hraniční zobrazení nebo diferenciály,
Izomorfismy Er + 1 s H ( Er ) , homologie Er vzhledem k dr .

Obvykle se vynechávají izomorfismy mezi Er +1 a H ( Er ) a místo nich se píší rovnosti.

Nejjednodušším příkladem je řetězový komplex C • . Objekt C • z abelovské kategorie řetězcových komplexů je vybaven diferenciálem d . Nechť r 0 = 0 a E 0 je C • . Potom E 1 bude komplex H ( C • ): i -tý člen tohoto komplexu je i -tá homologní skupina C • . Jediný přirozený diferenciál na tomto novém komplexu je nulová mapa, takže jsme nastavili d 1 = 0. Potom E 2 bude stejné jako E 1 a opět jediným přirozeným diferenciálem je nulová mapa. Za předpokladu, že diferenciál je nulový pro všechny následující listy, získáme spektrální sekvenci, jejíž členy mají tvar:

E 0 = C •
E r = H ( C • ) pro všechna r ≥ 1.

Členy této spektrální sekvence jsou stabilizovány od prvního listu, protože jediný netriviální diferenciál byl na nultém listu. Proto v dalších krocích nedostáváme nové informace. Obvykle, abyste získali užitečné informace z následujících listů, potřebujete mít další strukturu na E r .

Ve výše popsané negradované situaci r 0 nezáleží, ale v praxi se většina spektrálních sekvencí vyskytuje v kategorii dvojitě odstupňovaných modulů nad prstencem R (nebo dvojitě odstupňovaných svazků modulů nad svazkem prstenců). V tomto případě je každý list modul s dvojitým odstupňováním a rozkládá se na přímý součet členů s jedním členem pro každou dvojici stupňů. Mapování hranic je definováno jako přímý součet mapování hranic na každém listovém členu. Jejich stupeň závisí na r a je pevně stanoven dohodou. V případě homologické spektrální sekvence termíny označují a diferenciály mají dvojstupeň (− r , r − 1). V případě kohomologické spektrální posloupnosti termíny označují a diferenciály mají dvojstupeň ( r , 1 − r ). (Tyto volby stupňů přirozeně vznikají v praxi; viz dvojitý komplexní příklad níže.) V závislosti na spektrální posloupnosti má hraniční mapa na prvním listu bidegree odpovídající r = 0, r = 1 nebo r = 2. například pro komplex filtrovaný spektrální sekvencí popsaný níže r 0 = 0, ale pro Grothendieck spektrální sekvenci r 0 = 2. $E_{p,q}^{r}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Nechť E r je spektrální posloupnost začínající např. r = 0. Pak existuje posloupnost podobjektů

0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2 }\podmnožina Z_{1}\podmnožina Z_{0}=E_{0},

takový, že ; Opravdu věříme a definujeme takovým způsobem, který je jádrem a obrazem ${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1))$ $Z_{0}=E_{0},B_{0}=0$ ${\displaystyle Z_{r},B_{r))$ ${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1))$ $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$

Pak předpokládáme , že ${\displaystyle Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r))$

{\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty ))

;

se nazývá limitní člen. (To samozřejmě v kategorii nemusí existovat, ale to většinou není problém, protože např. v kategorii modulů takové limity existují, nebo proto, že nejčastěji degenerují spektrální sekvence, se kterými se v praxi pracuje; v výše uvedená sekvence je pouze konečný počet inkluzí.) ${\displaystyle E_{\infty ))$

Vizualizace

Dvojitě odstupňovaná spektrální sekvence obsahuje mnoho dat, ale existuje vizualizační metoda, díky které je struktura spektrální sekvence srozumitelnější. Máme tři indexy, r , p a q . Představme si, že pro každé r máme list papíru. Na tomto listu nechť p se zvětšuje v horizontálním směru a q ve vertikálním směru. V každém bodě mřížky máme objekt . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Typicky je n = p + q dalším přirozeným indexem ve spektrální sekvenci. n roste diagonálně. V homologickém případě mají diferenciály dvojstupeň (− r , r − 1), takže se n sníží o 1. V kohomologickém případě se n zvýší o 1. Pokud je r nula, posune diferenciál objekty o jeden krok nahoru nebo dolů. . Je to jako diferenciál v řetězovém komplexu. Je-li r jedna, posune diferenciál objekty o jeden krok doleva nebo doprava. Je-li r rovno 2, diferenciál pohybuje předměty podobným způsobem jako tah rytíře v šachu. Pro velké r se diferenciál chová jako zobecněný tah rytíře.

Konstrukce spektrálních sekvencí

Spektrální sekvence filtrovaného komplexu

Mnoho spektrálních sekvencí pochází z filtrovaných cochainových komplexů. Jedná se o cochainový komplex C • se sadou subkomplexů F p C • , kde p je libovolné celé číslo. (V praxi je p obvykle ohraničeno na jedné straně.) Mapování hranic musí být konzistentní s tímto filtrováním; tj. d ( F p C n ) ⊆ F p C n+1 . Filtraci považujeme za klesající, tedy F p C • ⊇ F p+1 C • . Členy cochainového komplexu očíslujeme indexem n . Později budeme také předpokládat, že filtrace je Hausdorffova nebo oddělitelná, to znamená, že průsečík všech F p C • je nulový, a že filtrace je vyčerpávající, to znamená, že spojení všech F p C • je celý cochain komplex C • .

Filtrování je užitečné, protože poskytuje míru blízkosti nuly: jak se p zvyšuje, F p C • se přibližuje k nule. Z této filtrace sestrojíme spektrální sekvenci, ve které se kohranice a kocykly v následujících listech stále více přibližují kohranicím a kocyklům původního komplexu. Tato spektrální sekvence bude dvakrát odstupňována stupněm filtrace p a doplňkovým stupněm {{{1}}} . (Doplňková mocnina je často vhodnější index než n . To je například případ binární komplexní spektrální sekvence popsané níže.)

Tuto spektrální sekvenci zkonstruujeme ručně. C • má pouze jedno třídění a filtrování, takže nejprve zkonstruujeme dvojitě klasifikovaný objekt z C • . Abychom získali druhé odstupňování, přejdeme k přidruženému odstupňovanému objektu s ohledem na filtrování. Označíme to neobvyklým způsobem, který bude zdůvodněn v kroku E 1 :

{\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q))

B_{0}^{p,q}=0

E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+ 1 ,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}

{\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q))

Protože jsme předpokládali, že mapování hranic je konzistentní s filtrací, E 0 je objekt s dvojitým odstupňováním a existuje přirozené dvojitě odstupňované mapování hranic d 0 na E 0 . Abychom získali E 1 , vezmeme homologii E 0 .

{\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0} ^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\ šipka vpravo F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}

{\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q -1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1} /F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}

{\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac ({\bar {Z}}_{1}^{p,q}}({\bar {B}}_{1}^{ p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{ {\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q))))

E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{ \frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}

Všimněte si, že a lze je popsat jako obrázky v ${\bar {Z}}_{1}^{p,q}$ ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$ ${\displaystyle E_{0}^{p,q))$

Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1} /F^{p+1}C^{p+q+1}

B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\ šipka vpravo C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

a co máme

E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1 ,q-1}}}.

${\displaystyle Z_{1}^{p,q))$ je přesně to, co diferenciál posouvá o jednu úroveň výše filtrování, a je přesně obrazem toho, co diferenciál posouvá o nulu výše filtrování. To naznačuje, že bychom měli definovat jako to, co posune diferenciál o r úrovně filtrování nahoru, a jako obraz toho, co posune diferenciál o r-1 úrovně filtrování. Jinými slovy, spektrální sekvence musí vyhovět ${\displaystyle B_{1}^{p,q))$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle B_{r}^{p,q))$

Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1} /F^{p+r}C^{p+q+1}

B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1} C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p +1,q-1}}}

a musíme mít poměr

B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).

Aby to dávalo smysl, musíme najít diferenciál d r na každém Er a ověřit, že jeho homologie je izomorfní k Er + 1 . Rozdíl

d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}

je definováno jako omezení původního diferenciálu d c na podobjekt . $C^{p+q}$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q))$

Je snadné zkontrolovat, že homologie Er vzhledem k tomuto diferenciálu je Er +1 , takže dostaneme spektrální sekvenci. Bohužel diferenciál není popsán příliš jasně. Hledání diferenciálů nebo způsobů, jak se bez nich obejít, je jedním z hlavních problémů stojících v cestě úspěšné aplikaci spektrální sekvence.

Spektrální sekvence dvojkomplexu

Další častou spektrální sekvencí je spektrální sekvence dvojkomplexu. Dvojitý komplex je množina objektů C i, j pro všechna celá čísla i a j , spolu se dvěma diferenciály d I a d II . Podle konvence d I snižuje i a d II snižuje j . Navíc předpokládáme, že tyto dva diferenciály antikomutují, takže d I d II + d II d I = 0. Naším cílem je porovnat iterované homologie a . Děláme to filtrováním našeho dvojkomplexu dvěma způsoby. Zde jsou naše filtry: $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$

(C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{ if }}i\geq p\end{cases}}

(C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{ if }}j\geq p\end{cases}}

Abychom získali spektrální sekvenci, zredukujeme situaci na předchozí příklad. Celkový komplex T ( C •,• ) definujeme jako komplex, jehož n-tý člen je toto a jehož diferenciál je d I + d II . To je komplexní, protože dI a dII jsou diferenciály proti dojíždění . Dvě filtrace na C i, j vyvolávají dvě filtrace na celém komplexu: ${\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j))$

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j))

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j))

Abychom ukázali, že tyto spektrální sekvence poskytují informace o iterované homologii, popisujeme pojmy E 0 , E 1 a E 2 filtrace I na T ( C •,• ). Člen E 0 je jednoduchý:

{}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{ \bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{ i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},

kde n = p + q .

Abychom našli člen E 1 , musíme popsat d I + d II na E 0 . Všimněte si, že diferenciál musí mít stupeň −1 vzhledem k n , takže dostaneme zobrazení

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{ n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p }^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}

Proto je diferenciál na E 0 mapa C p , q → C p , q −1 , indukovaná d I + d II . Ale d mám špatný stupeň k vyvolání takového zobrazení, takže d musím být nula na E 0 . To znamená, že diferenciál je přesně d II , takže dostaneme

{}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).

Abychom našli E 2 , musíme definovat

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{ II}(C_{p+1,\bullet})

Protože E1 je přesně homologie s ohledem na dII , dII je nula na E1 . Proto dostáváme

{}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet })).

Pomocí dalšího filtrování získáme spektrální sekvenci s podobným členem E 2 :

{}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).

Zbývá najít souvislost mezi těmito spektrálními sekvencemi. Ukazuje se, že jak se r zvyšuje, stávají se obě sekvence dostatečně podobné, aby bylo možné provést užitečná srovnání.

Konvergence a degenerace

V elementárním příkladu, se kterým jsme začali, byly listy spektrální sekvence konstantní od r =1. V této situaci má smysl vzít limitu posloupnosti listů: protože po nulovém listu se nic neděje, limitní list E ∞ je stejný jako E 1 .

V obecnějších situacích limitní listy často existují a jsou vždy zajímavé. Jsou jedním z nejdůležitějších aspektů spektrálních sekvencí. Říkáme, že spektrální posloupnost konverguje, pokud existuje r ( p , q ) tak, že pro všechna r ≥ r ( p , q ) jsou diferenciály a nulové. Z toho plyne, že pro velké r bude izomorfní . To je označeno následovně: ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$ $d_{r}^{pr,q+r-1}$ ${\displaystyle d_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q))

Zde p označuje index filtrace. Termín je často psán na levé straně konvergence , protože je to nejužitečnější termín v mnoha spektrálních sekvencích. ${\displaystyle E_{2}^{p,q))$

Ve většině spektrálních sekvencí není tento termín přirozeně dvakrát odstupňován. Místo toho obvykle existují členové s přirozeným filtrováním . V těchto případech předpokládáme . Konvergenci definujeme stejně jako dříve, ale píšeme ${\displaystyle E_{\infty ))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{n))$ ${\displaystyle F^{\bullet }E_{\infty }^{n))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}E_{\infty }^{p+q}=F^{p}E_{\infty }^{ p+q}/F^{p+1}E_{\infty }^{p+q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n))

což znamená, že když p + q = n , konverguje k . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$

Nejjednodušším případem, ve kterém můžeme konvergenci dosáhnout, je degenerace spektrální sekvence. Říkáme, že spektrální posloupnost degeneruje v r-tém listu , jestliže pro jakékoli s ≥ r je diferenciál d s nulový. Z toho vyplývá, že E r ≅ E r +1 ≅ Er +2 ≅ … Zejména z toho vyplývá, že Er je izomorfní k E ∞ . To je to, co se stalo v prvním triviálním příkladu nefiltrovaného řetězcového komplexu: spektrální sekvence degenerovala v prvním listu. Obecně platí, že pokud je dvojitě odstupňovaná spektrální sekvence nulová mimo horizontální nebo vertikální pásmo, spektrální sekvence degeneruje, protože pozdější diferenciály vždy vstupují nebo přicházejí z objektu mimo pásmo.

Spektrální posloupnost také konverguje, pokud zmizí pro všechna p menší než některé p 0 a pro všechna q menší než některá q 0 . Pokud lze p 0 a q 0 zvolit jako nulu, nazývá se to první kvadrantová spektrální sekvence . Tato sekvence konverguje, protože každý objekt je v pevné vzdálenosti od hranice nenulové oblasti. Pro pevné p a q se tedy rozdíl na pozdějších listech vždy mapuje do nebo z nulového objektu. Podobně spektrální posloupnost také konverguje, pokud zmizí pro všechna p větší než některé p 0 a pro všechna q větší než některé q 0 . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Literatura

A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Kurz topologie homotopie. - M. : Nauka, 1989. - 528 s.
Hatcher, Allen, Spektrální sekvence v algebraické topologii