Bargmanův teorém

Bargmanův teorém je tvrzení o vlastnosti fázových transformací v nerelativistické kvantové mechanice , které zakazuje popisovat superpozici vlnových funkcí odpovídajících částicím s různou hmotností. Poprvé to dokázal Valentin Bargman v roce 1954 [1] .

Formulace

V nerelativistické kvantové mechanice je nemožné popsat stavy, ve kterých existuje hmotnostní spektrum nebo nestabilní elementární částice.

Důkaz

Uvažujme Schrödingerovu rovnici : . Uvažujme Galileovu transformaci tvaru: , , kde je konstantní ortogonální matice popisující prostorovou rotaci, je vektor konstantní rychlosti popisující Galileovu transformaci, je vektor konstantního posunu počátku v prostoru, je konstantní posun časové reference . Uvažujme Galileovu transformaci jako výsledek použití nějakého unitárního operátoru , který transformuje vlnovou funkci následovně: . Invariance s ohledem na Galileovu transformaci znamená, že musí splňovat stejnou Schrödingerovu rovnici jako : . Pomocí vlastností , dosadíme do . V důsledku toho dostaneme : Poslední člen je roven nule, pokud je splněna Schrödingerova rovnice, protože a jsou nezávislé, proto následují dvě podmínky: , . Dosazením první podmínky do druhé dostaneme . V důsledku integrace získáme: , kde je integrační konstanta. Fáze transformace tedy nemůže být vyloučena žádnou volbou integrační konstanty. Z toho plyne, že neexistují žádné nerelativistické kvantově mechanické stavy, které by byly popsány lineárními superpozicemi vlnových funkcí odpovídajících částicím různé hmotnosti. V nerelativistické kvantové mechanice je nemožné popsat stavy, ve kterých existuje hmotnostní spektrum nebo nestabilní elementární částice. [2] $i{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi =0$ $q\rightarrow q'=Rq+Vt+a$ $t\rightarrow t'=t+b$ $R$ $PROTI$ $A$ $b$ $U$ $\Psi '(q,t)=e^{{if}}\Psi (q',t')$ $\psi'$ $\psi$ $i{\frac {\partial \Psi '}{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi '=0$ ${\frac {\partial }{\partial t))={\frac {\partial }{\partial t'))+V\nabla '$ $\nabla =R\nabla '$ $\nabla ^{2}=\nabla '^{2}$ $\Psi '(q,t)=e^{{if}}\Psi (q',t')$ $i{\frac {\partial \Psi '}{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi '=0$ $\left[-{\frac {\částečné f}{\částečné t'}}-V\nabla 'f+{\frac {1}{2m}}(\nabla 'f)^{{2}}-{\ frac {i}{2m}}\nabla '^{{2}}f\right]e^{{if}}\Psi +i\left(V-{\frac {1}{m}}\nabla ' f\right)e^{{if}}\nabla '\Psi +\left(i{\frac {\částečné \Psi }{\částečné t'}}-{\frac {1}{2m}}\nabla '^{{2}}\Psi \right)e^{{if}}=0$ $\psi$ $\nabla '\Psi$ $\nabla 'f=mV$ ${\frac {\partial f}{\partial t'}}=-V\nabla 'f+{\frac {1}{2m}}(\nabla 'f)^{{2}}-{\frac {i }{2m}}\nabla '^{{2}}f$ ${\frac {\partial f}{\partial t'}}=-{\frac {mV^{2}}{2}}$ $f(q',t')=mVq'-{\frac {1}{2}}mV^{2}t'+C$ $C$

Viz také

Schrödingerova skupina

Poznámky

↑ Bargmann V., Ann. Math. 59:1 (1954)
↑ Kaempfer, 1967 , str. 385.

Literatura

Kaempfer F. Základy kvantové mechaniky. — M .: Mir, 1967. — 391 s.