Blochův teorém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 2. dubna 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Blochův teorém je důležitý teorém fyziky pevných látek , zakládající tvar vlnové funkce částice v periodickém potenciálu. Pojmenována po švýcarském fyzikovi Felixovi Blochovi . V jednorozměrném případě se tato věta často nazývá Floquetova věta. Formulováno v roce 1928.

Formulace

Striktní formulace

Vlastní stavy jednoelektronového Hamiltoniánu

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\,,

kde potenciál U ( r ) je periodický přes všechny vektory R Bravaisovy mřížky, lze zvolit tak, že jejich vlnové funkce mají tvar rovinné vlny násobené funkcí, která má stejnou periodicitu jako Bravaisova mřížka:

\psi _{n\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {kr} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\,,

kde

u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

za všechna R patřící do Bravaisovy mřížky . Index n se nazývá číslo zóny. Jeho vzhled je způsoben tím, že pro libovolný vlnový vektor pevných částic k může mít systém mnoho nezávislých vlastních stavů.

Elektronické vlnové funkce ve tvaru se nazývají Blochovy funkce . Je však důležité pochopit, že na rozdíl od Blochových funkcí nejsou amplitudy periodickými funkcemi, protože termín popisuje rovinnou vlnu . $u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )$ $\psi _{n{\textbf {k}}}=e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}u_{n{\textbf {k}}}({\ textbf{r)))$ $e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}$

Upřesnění znění

Věta uvažuje o ideálním nekonečném krystalu. To znamená, že nemá žádné vady a má translační symetrii. V další konstrukci teorie jsou porušení periodicity mřížky obvykle považována za malé poruchy. Ve skutečném krystalu navíc elektrony vzájemně interagují, což by se mělo projevit v Hamiltoniánu systému přidáním odpovídajícího členu. Při formulaci věty se však používá aproximace neinteragujících elektronů, což umožňuje uvažovat o jednočásticovém Hamiltoniánu.

Důkaz

Označme TR operátor překladu libovolné funkce na vektor R . Vzhledem k periodicitě Hamiltoniánu máme:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}\psi ={\hat {H}}(\mathbf {r} +\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hat {H}} (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hat {H} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi .

Operátor translace na libovolný vektor Bravaisovy mřížky tedy komutuje s Hamiltoniánem systému. Překladové operátory na libovolné dva vektory navíc vzájemně komutují:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )={\hat {T} }_{\mathbf {R'} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} + \mathbf {R'} )={\hat {T}}_{\mathbf {R} +\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} ).

Ze základní věty kvantové mechaniky vyplývá, že v tomto případě lze stavy hamiltoniánského H volit tak, že jsou současně vlastními stavy všech operátorů TR :

{\hat {H}}\psi =E\psi ,

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi .

Vlastní čísla c ( R ) souvisí vztahem c ( R ) c ( R' ) = c ( R + R ' ), protože na jedné straně:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R } ){\hat {T))_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R} )c(\mathbf {R'} )\psi ,

s jiným:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi ={\hat {T}}_{\mathbf {R } +\mathbf {R'} }\psi =c(\mathbf {R} +\mathbf {R'} )\psi .

Nechť a i jsou tři hlavní vektory Bravaisovy mřížky. C ( a i ) můžeme vždy reprezentovat jako

c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi \mathbf {i} \mathbf {x} _{i)).

Pro libovolný vektor R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 platí rovnost:

c(\mathbf {R} )=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}*c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2} }*c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}},

ekvivalent k rovnosti , kde kde b i jsou reciproké mřížkové vektory splňující vztah $c(\mathbf {R} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }$ $\mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3} \,,$

\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}.

Vlastní čísla ψ hamiltoniánského H lze tedy zvolit tak, že pro každý vektor R Bravaisovy mřížky platí rovnost:

{\hat {T))_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )=c(\mathbf {R } } )\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} ),

což přesně odpovídá tvrzení věty.

Viz také

Literatura

N. Ashcroft, N. Mermin. Fyzika pevných látek. Svazek 1. Kapitola 8.