Gaussova-Lucova věta

Pro libovolný polynom s komplexními koeficienty, který není shodně konstantní , patří množina nul jeho derivace do konvexního obalu nul polynomu . $P(z)$ $P'(z)$ $P(z)$

O důkazu

Důkaz věty je založen na následujícím snadno ověřitelném tvrzení: Pokud jsou všechny kořeny polynomu v polorovině , pak nerovnost platí v oblasti: $P(z)$ ${\rm {Re}}\,z<0$ ${\rm {Re}}\,z\geq 0$

{\rm {Re}}\,{P'(z) \over P(z)}>0

z čehož vyplývá, že všechny kořeny derivace musí být také v polorovině . ${\rm {Re}}\,z<0$