Nulová funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. května 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Nula funkce v matematice je prvek z definičního oboru funkce , ve kterém nabývá nulové hodnoty. Například pro funkci danou vzorcem $F$

f(x)=x^{2}-6x+9\,.

$x=3$ je nula, protože

f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0

Pojem nul funkce může být uvažován pro všechny funkce, jejichž rozsah obsahuje nulu nebo nulový prvek odpovídající algebraické struktury .

Pro funkci reálné proměnné jsou nuly hodnoty, ve kterých graf funkce protíná osu x . $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

Hledání nul funkce často vyžaduje použití numerických metod (například Newtonova metoda , gradientní metody ).

Jedním z nevyřešených matematických problémů je hledání nul Riemannovy zeta funkce .

Kořen polynomu

Základní věta algebry

Základní věta algebry říká, že každý polynom stupně n má n komplexních kořenů , vzhledem k jejich mnohosti. Kubická rovnice, jak je ukázáno výše, má vždy tři komplexní kořeny, přičemž se bere v úvahu násobnost. Všechny imaginární kořeny polynomu, pokud existují, jsou vždy zahrnuty do konjugovaných párů, pouze pokud jsou všechny koeficienty polynomu reálné. Každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen. Spojení mezi kořeny polynomu a jeho koeficienty je založeno na Vietově teorému .

Komplexní analýza

Jednoduchá nula funkce holomorfní v nějaké oblasti je bod v nějakém sousedství, jehož reprezentace platí , kde je holomorfní v a v tomto bodě nezaniká. $G\subset \mathbb {C}$ $F$ $z_{0}\v G$ $f(z)=(z-z_{0})g(z)$ $G$ $z_{0}$

Nula řádu $k$ funkce holomorfní v nějakém oboru je bod v nějakém sousedství, jehož reprezentace platí , kde je holomorfní v a v tomto bodě nezaniká. $G\subset \mathbb {C}$ $F$ $z_{0}\v G$ $f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)$ $G$ $z_{0}$

Nuly holomorfní funkce izolované .

Další specifické vlastnosti nul komplexních funkcí jsou vyjádřeny v různých větách:

Historie

Kubické rovnice

Historicky byl koncept imaginárních čísel vyvinut řešením rovnic třetího stupně se třemi různými reálnými kořeny. Podle Cardanova vzorce jsou všechny tři kořeny rovnice stejné $X$ $x^{3}+kx+l=0$

$\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C+{\frac {-k}{3}}\left[\left ({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C\right]^{-1},$

kde (na místě plus nebo minus se hodí obě znaménka, pokud C nepřejde na 0) a jsou všechny možné komplexní kořeny 3. stupně od 1 , totiž , $C^{3}={\tfrac {-l}{2}}\pm {\sqrt ({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3} {27}}}}$ $n\in \{0,1,2\},$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}$ $jeden$ ${\tfrac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}.$

Pokud je číslo pod druhou odmocninou menší než nula a k a l jsou reálné, pak a jsou nereálná sdružená čísla, což znamená, že když se sečtou, získají se tři různé reálné kořeny kubické rovnice. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$
Pokud se rovná nule, pak má kubická rovnice jeden trojnásobný kořen nebo dva různé kořeny, z nichž jeden je dvojnásobný. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$
Pokud je více než nula a k a l reálné, pak je jedno z čísel reálné , ale již nejsou konjugované: mají různé moduly , - a v důsledku toho má kubická rovnice pouze jeden skutečný kořen a další dva ne . _ ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$

$-108({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}})$ - to je diskriminant rovnice , jejíž znaménko právě určuje reálnost a násobnost kořenů. $x^{3}+kx+l=0,$

Na první pohled odstavce 1 a 3 představují paradoxní případy. Tuto zvláštnost vyřešil a doložil Rafael Bombelli a umožnil mu plně legalizovat imaginární čísla, stejně jako záporná čísla, která před ním v Evropě nebyla uznávána.

Literatura

Funkce nula - článek z Velké sovětské encyklopedie .
Weisstein, Eric W. Root (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .