Gelfond-Schneiderova věta

Gelfond-Schneiderův teorém je teorém v teorii čísel , který zakládá transcendenci velké třídy čísel a tím řeší (potvrzeně) Hilbertův sedmý problém . Nezávisle to dokázali v roce 1934 sovětský matematik Alexander Gelfond [1] a německý matematik Theodor Schneider [2] .

Formulace

If - algebraická čísla , a ne nula a ne jedna, ale iracionální , pak jakákoli hodnota je transcendentální číslo . $a,b$ $A$ $b$ $a^{b}$

Ekvivalentní formulace pro logaritmy (základ logaritmu je zvolen libovolně) [3] :

If - algebraická čísla , která se nerovna nule nebo jedničce, pak - buď racionální nebo transcendentální číslo . $a,b$ $\log(b)/\log(a)$

Jestliže jsou lineárně nezávislé na poli racionálních čísel , pak jsou také lineárně nezávislé na poli algebraických čísel . $\log(a),\log(b)$

Pro zobecnění poslední formulace viz článek Teorie transcendentálních čísel .

Hodnoty mohou být nejen reálné , ale také komplexní čísla ; protože komplexní stupeň je vícehodnotový, je zvláště zdůrazněn ve formulaci: jakákoli hodnota . $a,b$
Pokud odstraníme požadavek, že byla algebraická čísla , věta bude nesprávná. Příklad: $a,b$

{\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2} }\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.

Z příkladu, vezmeme-li v úvahu větu, je také zřejmé, že jde o transcendentální číslo.

{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}

Věta implikuje transcendenci některých důležitých matematických konstant .

Gelfondova-Schneiderova konstanta a její druhá odmocnina již zmíněná výše : $2^{{{\sqrt {2))))$ ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.$
Gelfondova konstanta a $e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots$ $i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{-\pi /2}=0,207879576\ldots .$

↑ Gelfond A. O. Sur le septième problème de Hilbert // Sborník Akademie věd SSSR. série VII. Katedra matematických a přírodních věd. - M. , 1934. - Vydání. 4 . - S. 623-634 . Archivováno z originálu 9. srpna 2018.
↑ Schneider, Theodor . Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, svazek 172, 1934, str. 65-69, 70-74.
↑ Feldman .

Gelfond A. O. Transcendentální a algebraická čísla. - M. : GITTL, 1952. - 224 s.
Transcendentální číslo // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5.
Sedmý problém Feldmana N. I. Hilberta. - M. : Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1982. - 312 s.
Baker, Alan. Transcendentální teorie čísel. - Cambridge University Press , 1975. - ISBN 0-521-20461-5 .
Lang, Serge. Úvod do transcendentálních čísel. - Addison-Wesley, 1966. - ISBN 0-521-20461-5 .

Žukov A. Algebraická a transcendentální čísla . Staženo: 9. srpna 2017. (neurčitý)
Feldman N. Algebraická a transcendentální čísla . Staženo: 9. srpna 2017. (neurčitý)
Důkaz Gelfond-Schneiderovy věty
Hyun Seok Lee. O teorii transcendence s malou historií, novými výsledky a otevřenými problémy . Staženo: 9. srpna 2017. (neurčitý)
Waldschmidt, Michel (2001). Gel'fond-Schneiderova metoda // Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
Weisstein, Eric W. Gelfond-Schneider Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .