Caseyho teorém

Casey nebo Caseyův teorém je teorém v euklidovské geometrii , který zobecňuje Ptolemaiovu nerovnost . Pojmenován po irském matematikovi Johnu Caseymu .

Formulace

Nechť je kruh o poloměru . Nechť jsou (v uvedeném pořadí) čtyři neprotínající se kruhy ležící uvnitř a tečné k němu. Označme délkou úsečky mezi body dotyku vnější společné tečny kružnic . Potom [1] : $Ó$ $R$ ${\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4))$ $Ó$ $t_{ij}$ ${\displaystyle O_{i},O_{j))$

t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.

V degenerovaném případě, kdy jsou všechny čtyři kružnice redukovány na body (kruhy o poloměru 0), dostaneme přesně Ptolemaiovu větu .

Poznámky

Caseyho věta platí pro šest párových tečen čtyř kružnic tečných k jedné společné kružnici nejen interně, jak bylo diskutováno výše, ale také externě, jak je znázorněno na obr. níže.

V tomto případě je splněn obvyklý vzorec Caseyho věty:

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

V degenerovaném případě, kdy jsou tři ze čtyř kruhů redukovány na body (kruhy o poloměru 0) a jedna strana čtyřúhelníku degeneruje do bodu a zbývající tři strany čtyřúhelníku tvoří rovnostranný trojúhelník, přesně zobecněný Pompeyův je získána věta .
V degenerovaném případě, kdy jsou všechny čtyři kružnice redukovány na body (kruhy o poloměru 0), dává druhý případ také Ptolemaiovu větu .

Důkaz

Následující důkaz má (podle Bottema [2] ) od Tzahariase [3] . Označme poloměr kružnice jako a bod dotyku s kružnicí jako . Pro středy kružnic použijeme označení . Všimněte si, že Pythagorova věta implikuje $O_{i}$ $R_i$ $Ó$ $K_{i}$ ${\displaystyle O,O_{i))$

t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j))}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.

Zkusme délky vyjádřit pomocí bodů . Podle zákona kosinus v trojúhelníku , ${\displaystyle K_{i},K_{j))$ ${\displaystyle O_{i}OO_{j))$

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=\overline {OO_{i}}^{2}+\overline {OO_{j}}^{2}-2\overline {OO_{i }}\cdot \overline {OO_{j}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}

Protože se kruhy dotýkají, ${\displaystyle O,O_{i))$

\overline {OO_{i}}=R-R_{i},\,\úhel O_{i}OO_{j}=\úhel K_{i}OK_{j}

Nechť je bod na kružnici . Podle zákona sinů v trojúhelníku $C$ $Ó$ ${\displaystyle K_{i}CK_{j))$

\overline {K_{i}K_{j}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{ 2}}

Aby,

\cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left( {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2 }}{2R^{2}}}

a po dosazení výsledného výrazu do vzorce výše,

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i })(R-R_{j})\left(1-{\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}}{2R^{2}}\right)

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i })(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}} {R^{2}}}

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})( R-R_{j})\cdot {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}}{R^{2}}}

Nakonec požadovaná délka

t_{{ij}}={\sqrt {\overline {O_{i}O_{j}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac { {\sqrt {R-R_{i))}\cdot {\sqrt {R-R_{j))}\cdot \overline {K_{i}K_{j))}{R))

Nyní můžete transformovat levou stranu pomocí Ptolemaiovy věty , jak je aplikována na vepsaný čtyřúhelník : ${\displaystyle K_{1}K_{2}K_{3}K_{4))$

t_{{12}}t_{{34}}+t_{{14}}t_{{23}}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{ 1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left(\overline {K_{1} K_{2}}\cdot \overline {K_{3}K_{4}}+\overline {K_{1}K_{4}}\cdot \overline {K_{2}K_{3}}\right)

={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3 ))}{\sqrt {R-R_{4}}}\left(\overline {K_{1}K_{3}}\cdot \overline {K_{2}K_{4}}\right)=t_{ {13}}t_{{24}}

Variace a zobecnění

Lze ukázat, že čtyři kruhy nemusí ležet uvnitř velkého kruhu. Vlastně se ho mohou dotýkat i zvenčí. V tomto případě by měly být provedeny následující změny [4] :

Pokud se dotýkají na stejné straně (obě zevnitř nebo obě zvenčí), délka segmentu vnějších tečen.

{\displaystyle O_{i},O_{j))

Ó

t_{ij}

Pokud se dotýkají z různých stran (jedna zevnitř, druhá zvenčí), - délka segmentu vnitřních tečen.

{\displaystyle O_{i},O_{j))

Ó

t_{ij}

Platí i opak Caseyho věty [4] . Pokud tedy platí rovnost, kruhy se dotýkají. Například pro Obr. níže máme :

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

Pojmy „délka segmentu vnějších tečen“ a „délka segmentu vnitřních tečen“ mohou být zavádějící, protože tyto tečny lze kreslit uvnitř i vně společného spojovacího kruhu, protože podobné dvojice tečen dvou kruhů jsou vždy rovné. Důležitější je zde operovat nikoli s pojmy "vnější tečny" a "vnitřní tečny", ale s pojmy největší a nejmenší tečna pro dvě kružnice, protože dvě dvojice podobných tečen lze nakreslit ke dvěma kružnicím, vždy stejné pro každý pár, ale ne stejné mezi různými páry tečen. To je jasně vidět při porovnání těchto dvou čísel. Jak je dvojice kružnic umístěna vzhledem k jednomu ze dvou možných typů společných tečen k nim nakreslených, lze zjistit hodnotou jejich inverzní vzdálenosti I , která může nabývat 3 hodnot: 0, +1 a -1.

Aplikace

Caseyův teorém a jeho inverzní mohou být použity k prokázání různých tvrzení v euklidovské geometrii . Například nejkratší známý důkaz [5] Feuerbachovy věty používá inverzní Caseyho větu .

Poznámky

↑ Casey, 1866 .
↑ Bottema, 1944 .
↑ Zachariáš, 1942 .
↑ 12 Johnson, 1929 .
↑ Casey, 1866 , str. 411.

Literatura

John Casey. K rovnicím a vlastnostem: (1) soustavy kruhů dotýkajících se tří kruhů v rovině; (2) systému koulí dotýkajících se čtyř koulí ve vesmíru; (3) soustavy kruhů dotýkajících se tří kruhů na kouli; (4) Systému kuželoseček vepsaných do kuželosečky a dotyku tří vepsaných kuželoseček v rovině // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1866. - Č. 9 . - S. 396-423 . — .
M. Zachariáš. Der Caseysche Satz // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . - 1942. - T. 52 . - S. 79-89 .
O. Bottema. Hoofdstukken v Elementaire Meetkunde. - druhého rozšířeného vydání nakladatelství Epsilon-Uitgaven 1987. - Springer 2008 (překlad Reinie Erné jako Témata elementární geometrie ), 1944.
Roger A. Johnson. moderní geometrie. — Houghton Mifflin, Boston (republikované faksimile Doverem 1960, 2007 jako Advanced Euclidean Geometry ), 1929.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Caseyův teorém (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Shailesh Shirali: O zobecněné Ptolemaiově větě (downlink)