Kovalevskaja věta

V teorii parciálních diferenciálních rovnic hraje důležitou roli Kovalevskaja věta o jednoznačnosti a lokální řešitelnosti Cauchyho úlohy pro Kovalevskaja soustavu .

Kovalevskaja systém

Systém parciálních diferenciálních rovnic s neznámými funkcemi tvaru ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{N))$

{\frac {\částečné ^{n_{i}}u_{i}(x,t)}{\částečné t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x ,u_{i},...,u_{N},...,{\frac {\částečné ^{a}u_{j}}{\částečné t^{a_{0}}\částečné x_{1 }^{a_{1}}...\částečné x_{n}^{a_{n}}}},...\right),

kde , , , , , tedy počet rovnic se rovná počtu neznámých, se nazývá Kovalevskaja soustava . Nezávislá proměnná se vyznačuje tím, že mezi derivacemi nejvyššího řádu každé funkce systému existuje derivace řádu a systém je řešen podle těchto derivací. $x=(x_{1},...,x_{n})$ ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+...+a_{n))$ ${\displaystyle a\leqslant n_{j))$ $a_{0}\leqslant n_{j}-1$ $i,j=1,...,N$ $t$ $n_{i}$ $t$ $n_{i}$

Používá se následující zápis:

D^{a'}\phi _{i}^{k}(x)={\frac {\částečné ^{a'}\phi _{i}^{k}(x)}{\ částečné x_{1}^{a_{1}}...\částečné x_{n}^{a_{n}}},

kde , , . ${\displaystyle a'=a_{0}+a_{1}+...+a_{n))$ $a_{i}\geqslant 0$ $i=1,...,N$

Formulace

Pokud jsou všechny funkce analytické v okolí bodu a funkce jsou definované a analytické v okolí bodu , pak má Cauchyho problém analytické řešení v nějakém sousedství bodu , což je jedinečné ve třídě analytických funkcí. . $\phi _{i}^{k}(x)$ $x^{0}=(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})$ $F_{i}$ $(t^{0},x_{1}^{0},\tečky ,x_{n}^{0},\phi _{i}^{k}(x^{0}),\ tečky ,D^{a'}\phi _{i}^{k}(x^{0}),\tečky )$ $(t^{0},x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})$

Důkaz

Viz také

Cauchyho-Kovalevskaja věta

Literatura

Vladimirov VS Rovnice matematické fyziky. - Moskva : "Nauka", 1981. - S. 78-79. — 512 s.