Cauchyho-Poincarého věta

Cauchyho-Poincarého věta je zobecněním Cauchyho integrální věty pro případ vícerozměrného komplexního prostoru . Prokázal to v roce 1886 A. Poincaré .

Formulace

Nechť je komplexní varieta (komplexní) dimenze a je holomorfní forma na této varietě. Pak je integrál přes hranici libovolného rozměrového řetězce roven nule: $M$ $n$ $\omega$ $n$ $\omega$ $(n+1)$ $\sigma \subset M$ $\int \limits _{d\sigma }\omega =0$

Důkaz

V lokálních souřadnicích působících v sousedství má holomorfní forma tvar: , kde je holomorfní funkce v . Protože a je holomorfní , proto ; vlastnostmi vnějšího produktu tedy získáme , že , tedy že forma je uzavřená. Na základě Stokesova vzorce je integrál uzavřeného tvaru přes hranici roven nule: . Proto dojdeme k závěru, že integrál je nulový. $(z,{\bar {z)))$ $U\subset M$ ${\displaystyle \omega =f(z)dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n))$ $F$ $U$ ${\bar {\partial }}f=0$ ${\displaystyle df=\partial f=\sum _{\mu =1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{\mu ))}dz_{\mu ))$ $d\omega =df\wedge dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n}=0$ $\omega$ $\omega (d\omega =0)$ $\sigma =\partial \sigma ^{'}$ $\int \limits _{\sigma }\omega =\int \limits _{\partial \sigma ^{'}}d\omega =0$ $\int \limits _{d\sigma }\omega =0$

Literatura

B. V. Shabat Úvod do komplexní analýzy, část II, Funkce několika proměnných, M., Nauka, 1985