Courantova-Fischerova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. září 2018; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Courant-Fischerův teorém je teorém o vlastnosti hermitovského operátoru v Hilbertově prostoru funkcí. Také se nazývá minimax teorém [1] .

Formulace

\lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}{\frac {(Ax,x)}{( x,x)}}

A

je lineární samoadjungovaný operátor působící v konečném -dimenzionálním komplexu nebo reálném prostoru,

S

- jediná koule

{\displaystyle e=e_{1}\tečky e_{n))

je ortonormální báze prostoru skládající se z vlastních vektorů operátoru ,

PROTI

A

\lambda_k

je -tá vlastní hodnota operátoru a

k

A

{\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n))

L_{k}

— -rozměrný podprostor .

k

PROTI

Důkaz

$p=n-k+1$ , — -rozměrný podprostor , — lineární rozsah vektorů . . Odkud z toho plyne . Nechte a . Od té doby . Na druhou stranu od
$L_{k}$ $k$ $PROTI$
$W_{n-k+1}$ ${\displaystyle e_{k}\tečky e_{n))$
$\dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1$
$L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnothing }$ ${\displaystyle x_{0}\in L_{k}\cap W_{n-k+1))$ $\ \|x_{0}\|=1$
$\lambda _{k}=\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x),$ ${\frac {(Ax_{0},x_{0})}{(x_{0},x_{0})}}\leq \lambda _{k}$
$x_{0}\in L_{k}$