Nagumova věta

Nagumova věta je existenční teorém pro řešení okrajového problému prvního druhu pro obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu , která je řešena s ohledem na nejvyšší derivaci . Patří japonskému matematikovi Michio Nagumo [1] . Je to jeden z teorémů metody diferenciálních nerovnic .

Prohlášení věty

Uvažujme následující diferenciální rovnici druhého řádu s okrajovými podmínkami prvního druhu:

y''=f(x,y,y'),\quad x\in (a,b),

(1.1)

y(a)=y^{a},\quad y(b)=y^{b}.

(1.2)

K formulaci Nagumovy věty pro problém (1.1-1.2) potřebujeme řadu definic.

Nechť je funkce definována pro všechny , kde . $f(x,y,z)$ $(x,y,z)\in {\mathfrak {B}}\times \mathbb {R}$ ${\mathfrak {B}}\subset \mathbb {R} ^{2}$

Definice. Řekneme, že funkce patří do třídy Nagumových funkcí [2] na množině a napíšeme , zda existuje kladná spojitá funkce taková, že $f(x,y,z)$ ${\mathfrak B}$ $f\in N({\mathfrak {B}})$ $\varphi (u)$

1)\ \forall (x,y,z)\in {\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} \Rightarrow |f(x,y,z)|\leqslant \varphi (|z |),

(2.1)

2)\ \int _{0}^{\infty }{\frac {u\,du}{\varphi (u)))=+\infty .

(2.2)

Definice. Spodní a horní (bariérové) řešení problému (1.1–1.2) jsou funkce a , patřící do , a takové, že ${\underline {\omega }}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$ $C^{2}(a,b)\cap C[a,b]$

1){\begin{array}{c}{\underline {\omega }}(a)<y^{a}<{\overline {\omega }}(a),\\[.5ex] {\underline {\omega }}(b)<y^{b}<{\overline {\omega }}(b);\end{array}}

(3.1)

2){\begin{array}{c}{\podtržení {\omega }}''(x)>f(x,{\podtržení {\omega }}(x),{\podtržení {\omega }}'(x)),\\[.5ex]{\overline {\omega }}''(x)<f(x,{\overline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}'(x)),\end{array}}\ \forall x\in (a,b).

(3.2)

Definice. Klasické řešení úlohy (1.1–1.2) je funkce , která patří do rovnice (1.1) a splňuje ji pro každou z okrajových podmínek (1.2) . $y(x)$ $C^{2}(a,b)\cap C[a,b]$ $x\in(a,b)$

Věta (Nagumo). Nechť existuje dolní a horní řešení úlohy (1.1–1.2) takové, že ${\underline {\omega }}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$

1)\ \forall x\v [a,b]\Šipka doprava {\podtržení {\omega }}(x)<{\overline {\omega }}(x),

(4.1)

2)\ f(x,y,z)\in C^{0,1,1}({\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} )\cap N({\mathfrak {B }}),

(4.2)

kde . Pak existuje alespoň jedno klasické řešení problému (1.1–1.2) , které patří a leží mezi řešením bariér a : ${\mathfrak {B}}\equiv [a,b]\times [{\underline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}(x)]$ $y(x)$ $C^{2}[a,b]$ ${\underline {\omega }}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$

\forall x\v [a,b]\Šipka doprava {\podtržení {\omega }}(x)<y(x)<{\overline {\omega }}(x).

(4.3)

Důkaz věty

Důkaz Nagumovy věty se opírá o metodu střelby a používá následující lemmata.

Lemma 1. Nechť je uzavřená ohraničená doména na rovině a nechť . Potom lze libovolnou integrální křivku rovnice (1.1) procházející vnitřním bodem oblasti rozšířit v obou směrech až k hranici této oblasti. ${\mathfrak B}$ $(x,y)$ $f(x,y,z)\in C({\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} )\cap N({\mathfrak {B}})$ ${\mathfrak B}$

Viz také

Způsob střelby

Poznámky

↑ Nagumo M. Über die differentenzialgleichung . - str. 864-865. $y''=f(x,y,y')$
↑ V práci F. Hartmana se používá termín Nagumo funkce - viz Hartman Ph. O okrajových úlohách pro soustavy obyčejných, nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu. — str. 494.

Literatura

Nagumo M. Über die differentenzialgleichung $y''=f(x,y,y')$ (německy) // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 3. série. - 1937. - Bd. 19 , č. 10 . - S. 861-866 . - ISSN 0370-1239 .

Hartman Ph. O problémech okrajových hodnot pro systémy obyčejných, nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu // Transactions of the American Mathematical Society. - 1960. - Sv. 96 , č. 3 . - S. 493-509 . - ISSN 0002-9947 .

Akô K. Podfunkce pro obyčejné diferenciální rovnice (anglicky) // Journal of Science Faculty, University of Tokyo. Sekce 1, Matematika, astronomie, fyzika, chemie. - 1965. - Sv. 12 . - str. 17-43 . - ISSN 0368-2269 .

Akô K. Podfunkce pro obyčejné diferenciální rovnice, II // Funkcialaj Ekvacioj (Mezinárodní řada) . - 1967. - Sv. 10 , č. 2 (září) . - S. 145-162 . - ISSN 0532-8721 .

Akô K. Podfunkce pro obyčejné diferenciální rovnice, III // Funkcialaj Ekvacioj (Mezinárodní řada) . - 1968. - Sv. 11 , č. 2 (listopad) . - str. 111-129 . - ISSN 0532-8721 .

Akô K. Podfunkce pro obyčejné diferenciální rovnice, IV // Funkcialaj Ekvacioj (Mezinárodní řada) . - 1969. - Sv. 11 , č. 3 (únor) . - S. 185-195 . - ISSN 0532-8721 .

Akô K. Podfunkce pro obyčejné diferenciální rovnice, V // Funkcialaj Ekvacioj (Mezinárodní řada) . - 1970. - Sv. 12 , č. 3 (únor) . - str. 239-249 . - ISSN 0532-8721 .

Jackson LK Nagumo podmínka pro obyčejné diferenciální rovnice // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1976. - Sv. 57 , č. 1 . - str. 93-96 . — ISSN 0002-9939 .

Grossinho M. do Rosário, Minhós F., Santos AI Nelineární dvoubodové okrajové úlohy vyššího řádu se znaménkovou Nagumovou podmínkou // Mathematical Models in Engineering, Biology and Medicine: International Conference on Boundary Value Problems: Mathematical Models in Engineering, Biologie a medicína (AIP Conference Proceedings) / Editoři: Alberto Cabada, Eduardo Liz, Juan J. Nieto. - Melville, NY: AIP , 2009. - Sv. 1124 . - S. 195-204 . - ISBN 978-0-7354-0660-5 . — ISSN 0094-243X . - doi : 10.1063/1.3142933 . (nedostupný odkaz)

Bailey PB, Shampine LF, Waltman PE Kapitola 6. Základní věty o existenci, Kapitola 7. Další výsledky existence a jednoznačnosti // Problémy s nelineární dvoubodovou hranicí . - 1. vydání. - 111 Fifth Avenue, NY: Academic Press Inc. , 1968. - Sv. 44. - 172 s. - (Řada Matematika ve vědě a inženýrství). - ISBN 978-0-12-073350-7 .