Plancherelova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. července 2019; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Plancherelova věta je prohlášení o vlastnostech Fourierovy transformace . Tvrdí, že pro jakoukoli funkci, jejíž čtvercový modul je integrovatelný, existuje a je jednoznačně určena až do hodnot na množině měření nula funkce, která je její Fourierovou transformací. Prokázal to Plancherel v roce 1910 [1] . Hraje důležitou roli ve funkční analýze.

Formulace

Pro libovolnou funkci reálné proměnné , která patří do množiny funkcí , jejichž čtvercový modul je integrovatelný na intervalu , existuje funkce reálné proměnné , která také patří do intervalu , taková , že $f(x)$ $L^{2}$ $\left(-\infty ,\infty \right)$ $g(x)$ $L^{2}$ $\left(-\infty ,\infty \right)$

\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi } }}\int \limits _{-A}^{A}f(x)e^{iux}dx\right|^{2}du=0

Rovnice také platí:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)\right|^{2}du=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ vlevo|f(x)\vpravo|^{2}dx

\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi } }}\int \limits _{-A}^{A}g(u)e^{-iux}du\right|^{2}dx=0

Funkce , která je Fourierovou transformací funkce , je jednoznačně definována až do svých hodnot na množině nulové míry [2] . $g(u)$ $f(x)$

Viz také

Poznámky

↑ Plancherel, Michel & Mittag-Leffler (1910), Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par les intégrales définies , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo vol. 30 (1): 289–3013 /. BF03014877
↑ N. Wiener , R. Paley Fourierova transformace v komplexní oblasti. - M., Nauka, 1964. - str. 10-11

Literatura

C. Bochner Přednášky o Fourierových integrálech. - M., Fizmatlit, 1962. - 360 s.