Fock-Krylovova věta

Fock - Krylovova věta říká, že zákon rozpadu kvazistacionárního stavu je zcela určen energetickým spektrem výchozího stavu [1] .

Formulace

Fock-Krylov teorém definuje pravděpodobnost rozpadu počátečního stavu kvantového systému takto:

L(t)=|p(t)|^{2}=\left|\int \exp(-{\frac {i}{\hbar }}Et)dW(E)\right|^{2}

kde

dW(E)=w(E)dE

je energetické spektrum výchozího stavu.

Důkaz

Nechte systém popsat operátorem , který není závislý na čase. Potom lze rovnici pro vlastní čísla a vlastní funkce napsat takto: ${\hat H} (x)$

pro diskrétní spektrum:

{\hat H}(x)\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x)

pro spojité spektrum:

{\hat H}(x)\psi (E,x)=E\psi (E,x)

Nechť v okamžiku času je systém ve stavu a v okamžiku t bude ve stavu . Vývoj systému bude probíhat podle Schrödingerovy rovnice : $t = 0$ $\psi(x,0)$ $\psi (x,t)$

i\hbar {\frac {\částečné }{\částečné t))\psi (x,t)={\bar H}(x)\psi (x,t)

Řešení této rovnice je:

\psi (x,t)=\sum _{n}C_{n}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}E_{n}t\right)\psi _{n}( x)+\int C(E)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)\psi (E,x)dE

Koeficienty a jsou určeny počátečními podmínkami: $C_{n}$ $C(E)$

C_{n}=\int \psi _{n}^{*}(x)\psi (0,x)dx,\qquad C(E)=\int \psi ^{*}(E,x)\ psi (0,x) dE

Pravděpodobnost, že systém bude v počátečním stavu, je vyjádřena takto:

$L(t)=|p(t)|^{2}=\left|\int \psi ^{*}(x,0)\psi (x,t)dx\right|^{2}=\left |\int \exp(-{\frac {i}{\hbar }}Et)w(E)dE\right|^{2}$

kde je spektrum výchozího stavu. $w(E)=\sum _{n}|C_{n}|^{2}\!\delta (E-E_{n})+|C(E)|^{2}$

Fock-Krylovova věta

Formulace

Důkaz

Příklady

Literatura

Poznámky