Harcourtova věta
Harcourtův teorém je vzorec v geometrii pro obsah trojúhelníku jako funkce délek stran a vzdáleností od vrcholů trojúhelníku k libovolné přímce tečné k vepsané kružnici [1] .
Věta je pojmenována po J. Harcourtovi, irském profesorovi [2] .
Prohlášení
Nechť je trojúhelník dán jeho vrcholy A , B a C , protilehlé strany k vrcholům mají délky a , b a c , obsah je roven K a přímka se dotýká kružnice vepsané trojúhelníku v libovolném bodě. Označme vzdálenosti od vrcholů trojúhelníku k přímce jako a ', b ' a c ', zatímco pokud vrchol a střed kružnice leží na opačných stranách přímky, považujeme vzdálenost za zápornou. Pak
Degenerovaný případ
Pokud tečna obsahuje jednu ze stran trojúhelníku, pak se dvě vzdálenosti rovnají nule a vzorec se zjednoduší na vzorec trojúhelníku - dvojnásobek plochy se rovná součinu základny a výšky.
Generalizace
- Jestliže na tečně ke kružnici o poloměru x , soustředné s kružnicí vepsanou, vypustíme kolmice z vrcholů trojúhelníku , pak [4] .
- Konkrétně, je-li x=r , kde r je poloměr kružnice vepsané, pak máme Harcourtovu větu .
Vlastnost duality
Pokud a', b', c' místo vzdálenosti k libovolné tečně k vepsané kružnici označují vzdálenosti od stran k libovolnému bodu, rovnost
zůstává pravda [5] .
Poznámky
- ↑ Dergiades, Salazar, 2003 , s. 117-124.
- ↑ G.-M., 1912 , str. 750.
- ↑ Dergiades, Salazar, 2003 , Thm.3.
- ↑ Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. Průvodce pro učitele. 2. vydání. M.: Uchpedgiz, 1962. Závěr na str. 43.
- ↑ Whitworth, 2012 , str. jedenáct.
Literatura
- Nikolaos Dergiades, Juan Carlos Salazar. Harcourtův teorém // Forum Geometricorum. - 2003. - T. 3 .
- FG-M. Cvičení géométrie: comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 otázek résolues (neopr.) . - vydání = 5. - Maison A. Mame et fils (Tours) & J. de Gigord (Paříž), 1912. - (Cours de mathématiques elementaires).
- William Allen Whitworth. Trilineární souřadnice a další metody moderní analytické geometrie dvou rozměrů . - 2012. - (Zapomenuté knihy (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866).).