Hartogsova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. srpna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Hartogsova věta je tvrzení o dostatečných podmínkách pro analytičnost funkce několika komplexních proměnných . V případě více komplexních proměnných je postačující podmínkou analytičnosti analyticita vzhledem ke každé proměnné. Pro funkce reálných proměnných to neplatí: funkce je nekonečně diferencovatelná vzhledem k (nebo ), když je (nebo ) pevné, ale není ani spojitá na počátku. $f(x,y)={\frac {xy}{(x^{2}+y^{2})))),f(0,0)=0$ $X$ $y$ $y$ $X$ $F$

Formulace

Pokud je funkce s komplexní hodnotou definována v otevřené sadě -rozměrného komplexního prostoru a je analytická v každé proměnné , když jsou ostatní proměnné pevné, pak je funkce analytická v . $F$ $\Omega$ $n$ $\mathbb{C}^{n}$ ${\displaystyle z_{j))$ $F$ $\Omega$

Historie

Za dodatečného předpokladu kontinuity se toto tvrzení někdy nazývá Osgoodovo lemma , což dokázal William Osgood [1]

Poznámky

↑ Osgood, William F. (1899), Note über analytickische Functionen mehrerer Veränderlichen , Mathematische Annalen (Springer Berlin/Heidelberg) . — T. 52: 462–464, ISSN 0025-5831 , DOI 10.1007/BF01476172

Literatura

Hormander L. Úvod do teorie funkcí více komplexních proměnných. - M .: Mir, 1968. - 280 s.