Khinchin-Kolmogorovova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. ledna 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Khinchinův–Kolmogorovův teorém (také známý jako Wiener–Khinchinův teorém a někdy jako Wiener–Khinchin–Einsteinův teorém ) uvádí, že výkonová spektrální hustota široce stacionárního náhodného procesu je Fourierova transformace odpovídající autokorelační funkce . [1] [2] [3]

Nepřetržitý případ:

S_{xx}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,

kde

r_{xx}(\tau )=\mathrm {E} {\big [}x(t)x^{*}(t-\tau ){\big ]},

je autokorelační funkce definovaná v podmínkách matematického očekávání a kde je výkonová spektrální hustota funkce . Všimněte si, že autokorelační funkce je definována v podmínkách matematického očekávání součinu a že Fourierova transformace v obecném případě neexistuje, protože stacionární náhodné funkce nejsou integrovatelné v kvadratice. $S_{xx}(f)$ $x(t)$ $x(t)$

Hvězdička znamená komplexní konjugaci, lze ji vynechat, pokud je náhodný proces skutečný.

Diskrétní pouzdro:

S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}[k]e^{-j2\pi kf},

kde

r_{xx}[k]=\mathrm {E} {\big [}x[n]x^{*}[nk]{\big ]}

a kde

S_{xx}(f)

je výkonová spektrální hustota s diskrétními hodnotami . Spektrální hustota, která je uspořádána ve vzorcích s diskrétním časem, je periodickou funkcí ve frekvenční oblasti. $x[n]$

Aplikace

Věta je vhodná pro analýzu lineárních stacionárních systémů , kde vstupní a výstupní hodnoty nejsou kvadraturně integrovatelné, díky čemuž neexistují Fourierovy transformace. V důsledku toho je Fourierova transformace autokorelační funkce výstupního signálu systému LSS rovna součinu Fourierovy transformace autokorelační funkce vstupního signálu systému a druhé mocniny modulu Fourierovy transformace systému. jeho impulsní odezva . To platí, i když neexistují žádné Fourierovy transformace vstupních a výstupních signálů, protože nejsou integrovatelné. Vstupní a výstupní parametry proto nemohou být přímo spojeny Fourierovou transformací funkce přenosu impulsu.

Z toho, že Fourierova transformace autokorelační funkce signálu je výkonové spektrum signálu, vyplývá, že výkonové spektrum výstupního signálu je rovno součinu výkonového spektra vstupního signálu a přenosové funkce signálu. Systém.

Tento důsledek se používá při hledání výkonového spektra parametrickou metodou.

Nekonzistence definice

V definicích zahrnujících nekonečné integrály pro spektrální hustotu a autokorelaci je Khinchinův–Kolmogorovův teorém jednoduše dvojicí Fourierových transformací, které lze snadno dokázat pro jakoukoli integrovatelnou funkci, tedy takovou, pro kterou existují Fourierovy transformace. Výhodněji a historicky, pro stacionární signály, pro které neexistují žádné Fourierovy transformace, je věta aplikována pomocí definice autokorelační funkce z hlediska matematického očekávání, a nikoli z hlediska nekonečného integrálu. Zjednodušení Khinchin-Kolmogorovovy věty je běžné v moderní technické literatuře a zatemňuje příspěvky A. Ya. Khinchina , Norberta Wienera a A. N. Kolmogorova .

Poznámky

↑ Dennis Ward Ricker. Echo Signal Processing (neopr.) . - Springer, 2003. - ISBN 140207395X . Archivováno 19. září 2014 na Wayback Machine
↑ Digitální a analogové komunikační systémy Leon W. Couch II . — 6 ed. - Prentice Hall, New Jersey, 2001. - S. 406-409.
↑ Krzysztof Iniewski. Bezdrátové technologie : Obvody, systémy a zařízení . - CRC Press , 2007. - ISBN 0849379962 . Archivováno 29. června 2014 na Wayback Machine