Proporce (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Proporce ( latinsky proportio „proporcionalita, rovnost částí; určitý poměr částí k sobě“) je rovnost poměrů dvou [nebo více] dvojic čísel a , tj. rovnost tvaru , nebo v jiných zápisech, rovnost (často čteno jako: „ platí pro stejně jako pro „). V tomto případě, a jsou nazývány extrémní , a - průměrné členy podílu. Tato proporce se také nazývá geometrická , nezaměňujte ji s aritmetickými a harmonickými proporcemi . $a, b$ $c, d$ $a:b=c:d$ $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $A$ $b$ $C$ $d$ $A$ $d$ $b$ $C$

Základní vlastnosti proporcí

Obrácení proporcí. Pokud , pak $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ {\frac ba}={\frac dc}$
Násobení krajních členů proporce se středními (křížově). Pokud , tak . Jinými slovy, součin krajních členů se rovná součinu středních členů. Tato vlastnost se nazývá základní vlastnost proporce. $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ad=bc$
Permutace středních a extrémních členů. Pokud , pak $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\frac ac}={\frac bd}

(permutace středních členů proporce),

\ {\frac db}={\frac ca}

(permutace krajních členů podílu).

Zvyšování a snižování proporcí. Pokud , pak $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}

(zvýšení proporce),

\ {\dfrac {ab}{b}}={\dfrac {cd}{d}}

(snížení podílu).

Tvorba proporcí sčítáním a odečítáním. Pokud , pak $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac ab}={\frac cd}

(vytvoření poměru přidáním),

\ {\dfrac {ac}{bd))={\frac ab}={\frac cd}

(vytvoření podílu odečtením). Důkaz (proporce sčítáním a odečítáním)

Doložíme pro doplnění. Vyjádříme prostřednictvím zbývajících členů podílu: . Pak: $C$ $c={\frac {ad}{b))$

{\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a+ad/b}{b+d}}={\frac {(ab+ad)/b}{b+ d ))={\frac {a(b+d)}{b(b+d)))={\frac {a}{b)).

U odčítání je důkaz podobný. ■

Historie

První známá definice stejných proporcí byla dána jako rovnost postupných odečítání [1] , v moderním jazyce to lze vyjádřit jako rovnost spojitých zlomků pro poměry velikostí. [2] Později Eudoxus z Cnidu definici zjednodušil, rovnost proporcí jím byla definována jako současné naplnění jedné ze tří dvojic poměrů $a:b=c:d$

$m\cdot a>n\cdot b$ a , $m\cdot c>n\cdot d$
$m\cdot a=n\cdot b$ a , $m\cdot c=n\cdot d$
$m\cdot a<n\cdot b$ a $m\cdot c<n\cdot d$

pro libovolnou dvojici přirozených čísel a . Tato definice je uvedena v Euklidových prvcích . $m$ $n$

S příchodem reálných čísel nebyla potřeba speciální teorie proporcí, starověcí matematici nepovažovali proporce délky za čísla. Definice Eudoxus, uvedená v poněkud abstraktnější formě, byla použita později v Dedekindově definici reálných čísel v podmínkách řezů .

Související definice

Aritmetický poměr

Rovnost dvou rozdílů se někdy nazývá aritmetický poměr [3] . $ab=cd$

Harmonická proporce

Pokud má geometrická proporce střední členy stejné a poslední je rozdílem mezi prvním a středním, nazývá se taková proporce harmonická :. V tomto případě se rozklad na součet dvou členů nazývá harmonické dělení nebo zlatý řez [4] . $a:b=b:(ab)$ $A$ $b$ $ab$

Problémy pro trojité pravidlo

Obsahem úlohy pro jednoduché trojité pravidlo jsou dvě veličiny související proporcionální závislostí, přičemž jsou dány dvě hodnoty jedné veličiny a jedna z odpovídajících hodnot druhé veličiny, ale je potřebná k nalezení jeho druhé hodnoty.

Úlohy pro komplexní trojité pravidlo se nazývají úlohy, ve kterých je pro řadu několika (více než dvou) proporcionálních veličin potřeba najít hodnotu jedné z nich odpovídající jiné řadě daných hodnot veličin [5]. [6] .

Viz také

Proporcionalita

Poznámky

↑ Topeka od Aristotela
↑ Von Fritz, Kurt . „Objev nesouměřitelnosti Hippasem z Metaponta“. Letopisy matematiky. - 1945. - S. 242-264.
↑ Aritmetické proporce // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
↑ Harmonický poměr // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Příručka elementární matematiky . Staženo 8. ledna 2018. Archivováno z originálu 8. ledna 2018. (neurčitý)
↑ Řešení úloh na jednoduchém trojím pravidle. Způsoby řešení . Staženo 8. ledna 2018. Archivováno z originálu 8. ledna 2018. (neurčitý)

Literatura

Van der Waerden, B. L. Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka. / za s cílem I. N. Veselovský. — M .: GIFML, 1959.