Balení kruhů v rovnostranném trojúhelníku

Problém balení kruhů do pravidelného trojúhelníku je problém balení, ve kterém je požadováno sbalit n jednotkových kruhů do nejmenšího pravidelného trojúhelníku . Optimální řešení jsou známa pro n  < 13 a pro libovolný trojúhelníkový počet kruhů. Existují hypotézy pro počet kruhů n  < 28 [1] [2] [3] .

Dohad Pal Erdőse a Normana Ohlera uvádí, že v případě, kdy n je trojúhelníkové číslo, má optimální uspořádání n − 1 a n kružnic stejnou délku strany. To znamená, že podle hypotézy lze optimální řešení pro n − 1 kruhů získat odstraněním jednoho kruhu z optimálního šestiúhelníkového uspořádání n kruhů [4] [5] .

Řešení minimální z hlediska délky strany trojúhelníku [1] :

Počet kol	Délka strany trojúhelníku
jeden	= 3,464...
2	= 5,464...
3	= 5,464...
čtyři	= 6,928...
5	= 7,464...
6	= 7,464...
7	= 8,928...
osm	= 9,293...
9	= 9,464...
deset	= 9,464...
jedenáct	= 10,730...
12	= 10,928...
13	= 11,406...
čtrnáct	= 11,464...
patnáct	= 11,464...

Úzce související problém je pokrytí pravidelného trojúhelníku s daným počtem kružnic s co nejmenším poloměrem [6] .

Viz také

• Balící kruhy v pravostranném rovnoramenném trojúhelníku
• Malfattiho kruhy , konstrukce, která dává optimální řešení pro tři kruhy v rovnoramenném trojúhelníku

Poznámky

1. ↑ 1 2 Melissen, 1993 , str. 916–925.
2. ↑ Melissen a Schuur 1995 , s. 333–342.
3. ↑ Graham a Lubačevskij, 1995 , s. 39 Článek 1.
4. ↑ Oler, 1961 , str. 153–155.
5. ↑ Payan, 1997 , str. 555–565.
6. ↑ Nurmela, 2000 , str. 241–250.

Literatura

• Hans Melissen. Nejhustší uspořádání shodných kruhů v rovnostranném trojúhelníku  // The American Mathematical Monthly . - 1993. - T. 100 , no. 10 . — S. 916–925 . - doi : 10.2307/2324212 .
• JBM Melissen, PC Schuur. Balení 16, 17 nebo 18 kruhů v rovnostranném trojúhelníku // Diskrétní matematika . - 1995. - T. 145 , no. 1-3 . — S. 333–342 . - doi : 10.1016/0012-365X(95)90139-C .
• Ronald Graham , B.D. Lubačevskij. Husté balení stejných disků v rovnostranném trojúhelníku: od 22 do 34 a dále  // Electronic Journal of Combinatorics . - 1995. - T. 2 . — C. Článek 1, cca. 39 str. (elektronické) .
• Norman Oler. Problém konečného balení // Kanadský matematický bulletin. - 1961. - T. 4 . — S. 153–155 . - doi : 10.4153/CMB-1961-018-7 .
• Charles Payan. Empilement de cercles égaux dans un trojúhelník équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler (Fr) // Diskrétní matematika . - 1997. - T. 165/166 . — S. 555–565 . - doi : 10.1016/S0012-365X(96)00201-4 .
• Kari J. Nurmela. Dohadně optimální pokrytí rovnostranného trojúhelníku s až 36 stejnými kružnicemi  // Experimentální matematika. - 2000. - T. 9 , no. 2 . — S. 241–250 . doi : 10.1080 / 10586458.2000.10504649 .