Ekvalizér (matematika)

Ekvalizér (také rozdílové jádro ) v teorii kategorií je zobecněním konceptu řešení nějaké ( algebraické , diferenciální , atd.) rovnice, tedy množiny, na které se tato zobrazení shodují.

Koncept duální k ekvalizéru je společný ekvalizér .

Definice

Ekvalizér morfismu a je limitem (pokud existuje) diagramu , tj. takového morfismu , že pro jakýkoli morfismus existuje jedinečný morfismus , pro který je následující diagram komutativní: $f\dvojtečka X\to Y$ $g\colon X\to Y$ $\downarrow \downarrow$ $eq\colon E\to X$ $f\circeq=g\circeq$ $m\colon O\to X$ $u\colon O\to E$

Ekvivalentně lze ekvalizér definovat jako kouniverzální čtverec pro morfismy a . $f\dvojtečka X\to Y$ $g\colon X\to Y$

Příklady

V kategorii množin je ekvalizér dvou zobrazení a je přirozeným začleněním do množiny množin, na kterých se shodují, tedy množiny . ${\mathcal {S}}et$ $F$ $G$ $X$ $F$ $G$ $\{x\in X:f(x)=g(x)\}$
Ekvalizér v kategorii topologických prostorů je definován obdobně . ${\mathcal {T}}op$
V kategorii abelovských grup se ekvalizér homomorfismů shoduje s jádrem jejich rozdílu. Proto se ekvalizér v libovolné kategorii také někdy nazývá rozdílovým jádrem, i když v nepreaditivní kategorii obecně není rozdíl morfismů definován. ${\mathcal {A}}b$

Literatura

McLane S. Kapitola 3. Univerzální konstrukce a limity // Kategorie pro pracujícího matematika = Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .