Poloměr plnění

Pocitový poloměr je metrickou charakteristikou Riemannovy manifoldy .

Navrhl Gromov v roce 1983. Použil poloměr plnění při dokazování systolické nerovnosti pro základní rozdělovače .

Křivky v rovině

Poloměr vyplňování ( ) uzavřené křivky C v rovině je definován jako největší poloměr kružnice, která je obsažena v křivce. $\mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})$ $R>0$

Poloměr plnění křivky C lze také definovat jako nejmenší z takových, že se křivka C smrští do bodu ve svém sousedství. $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Definice

Označte kroužek A nebo , v závislosti na tom, zda je X orientovatelné nebo ne. $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

Pak základní třída označovaná [X] kompaktní n - rozměrné variety X je generátorem homologní grupy a nastavíme $H_{n}(X;A)\simeq A$

\mathrm {FillRad} (X)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon } X)\vpravo\},

kde označuje Kuratowského vložení X do prostoru omezených funkcí na X . ${\displaystyle \iota _{\varepsilon ))$

Vlastnosti

V jakékoli dimenzi existuje konstanta , že nerovnost $n$ $c_n$ $(\mathrm {FillRad} \,M)^{n}\leq c_{n}\cdot \mathrm {vol} \,M$

platí pro jakoukoli uzavřenou Riemannovu dimenzionální varietu .

n

M

Toto je hlavní vlastnost poloměru plnění, kterou Gromov používá při dokazování systolické nerovnosti; důkaz s výraznými zjednodušeními a vylepšenou konstantou podává Alexander Nabutovsky. [jeden]
Pro danou varietu alespoň 3 rozměrů je optimální konstanta v nerovnosti $M$ $c(M)$

(\mathrm {FillRad} \,(M,g))^{n}\leq c(M)\cdot \mathrm {vol} \,(M,g)

závist jen na rozměru a jeho orientaci. [2]

M

Poloměr plnění nepřesahuje třetinu průměru. [3]
- Rovnosti je dosaženo pro skutečný projektivní prostor s kanonickou metrikou.
  - Konkrétně poloměr plnění jednotkové kružnice s indukovanou Riemannovou metrikou je π/3, tedy jedna šestina její délky.

Systola základního potrubí nepřesahuje šest poloměrů jeho plnění.
- Tato nerovnost se stává rovností pro reálné projektivní prostory, jak bylo uvedeno výše.

Poloměr vstřikování kompaktního potrubí M udává spodní hranici poloměru plnění. A to, $\mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{\dim M+1)).$

Poznámky

↑ Alexander Nabutovsky, Lineární hranice pro konstanty v Gromovově systolické nerovnosti a související výsledky. arXiv : 1909.12225
↑ Brunnbauer, Michael, Vyplňování nerovností nezávisí na topologii. J. Reine Angew. Matematika. 624 (2008), 217–231.
↑ Katz, M.: Poloměr plnění dvoubodových homogenních prostorů. Journal of Differential Geometry 18, číslo 3 (1983), 505–511.

Literatura

Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
Katz, M.: Poloměr vyplnění dvoubodových homogenních prostorů. Journal of Differential Geometry 18, číslo 3 (1983), 505-511.
Katz , Michail G. (2007), Systolická geometrie a topologie , sv. 137, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4177-8 , OCLC 77716978