Wallisova formule

Wallisův vzorec (také Wallisův součin ) je vzorec, který vyjadřuje číslo $\pi$ jako nekonečný součin racionálních zlomků:

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2 }-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right )\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{ 7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\ \end{aligned}}

Historie

V roce 1655 John Wallis navrhl vzorec pro určení čísla : $\pi$

{\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot \ldots

J. Wallis k ní přišel a vypočítal plochu kruhu. Historicky byl Wallisův vzorec významný jako jeden z prvních příkladů nekonečných produktů.

Důkaz

Pro funkci sinus používá nekonečný Eulerův součin: [1]

{\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2} \pi ^{2}}}\vpravo).

Nechte tedy $x=\pi /2$

{\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right) ,

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n ^{2}-1}}\right)=\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots \end{aligned}}

Aplikace

Tento produkt konverguje extrémně pomalu, takže Wallisův vzorec je pro praktický výpočet čísla málo užitečný. Je však užitečný v různých teoretických studiích, například při odvození Stirlingova vzorce . Pokud však mírně opravíme koncovku v tomto vzorci: $\pi$

\pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)))\ vpravo]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1 \right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3 }}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{ 7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right],

pak se rychlost konvergence zvýší asi o pět řádů.

Poznámky

↑ Wallisova formule . mathworld.wolfram.com . Získáno 13. března 2012. Archivováno z originálu 10. října 2020. (neurčitý)

Wallisova formule

Historie

Důkaz

Aplikace

Poznámky

Odkazy