Larmorův vzorec

Larmorův vzorec se používá k výpočtu celkového výkonu emitovaného nerelativistickým bodovým nábojem při jeho zrychlování . Poprvé ji získal Joseph Larmor v roce 1897 [1] v souvislosti s vlnovou teorií světla .

Když je jakákoli nabitá částice (jako je elektron , proton nebo iont ) urychlena, energie je vyzařována ve formě elektromagnetických vln . Pro rychlosti částic, které jsou malé ve srovnání s rychlostí světla , je celkový vyzářený výkon dán Larmorovým vzorcem:

P={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c} }\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\ frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}

( jednotky SI )

{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3))))

( jednotky CGS )

kde nebo je zrychlení, je náboj, je rychlost světla, je elektrická konstanta . Relativistické zobecnění je dáno Lienard-Wiechertovými potenciály . ${\tečka {v))$ $A$ $q$ $C$ $\varepsilon _{0}$

V jakékoli soustavě jednotek lze výkon vyzařovaný jedním elektronem vyjádřit klasickým poloměrem elektronu a hmotností elektronu jako:

P={2 \over 3}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}

Jedním z důsledků je, že elektron obíhající kolem jádra, jako v Bohrově modelu , musí ztratit energii, spadnout na jádro a atom se musí zhroutit. Tato hádanka nebyla vyřešena, dokud nebyla postavena kvantová mechanika .

Závěr

Pomocí Lienard-Wiechertova potenciálního vzorce lze elektrická a magnetická pole pohybujícího se náboje zapsat jako:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta ))}{\gamma ^{2}(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}} \left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\tečka {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}

\mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,

kde je rychlost náboje dělená , je zrychlení náboje děleno c , je jednotkový vektor ve směru , je modul rozdílu vektoru poloměru , je vektor poloměru náboje a . Termíny napravo jsou vyhodnoceny v době zpoždění . ${\boldsymbol {\beta ))$ $C$ ${\displaystyle {\tečka {\tučný symbol {\beta ))))$ $\mathbf {n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0))$ $R$ $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|$ $\mathbf {r} _{0}$ ${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2))$ $t_{\text{r}}=tR/c$

Pravá strana je součtem elektrických polí spojených s rychlostí a zrychlením nabité částice. První člen závisí pouze na , zatímco druhý závisí na obou a a úhlu mezi nimi. Protože první člen je úměrný , jeho absolutní hodnota velmi rychle klesá se vzdáleností. Na druhou stranu, druhý člen je úměrný , což znamená, že jeho absolutní hodnota klesá se vzdáleností mnohem pomaleji. Z tohoto důvodu je druhým členem radiační pole a je odpovědné za většinu energetických ztrát urychlujícího náboje. ${\boldsymbol {\beta ))$ ${\boldsymbol {\beta ))$ ${\displaystyle {\tečka {\tučný symbol {\beta ))))$ $1/R^{2}$ $1/R$

Hustotu energetického toku záření můžeme zjistit výpočtem Poyntingova vektoru :

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},

kde dolní index "a" zdůrazňuje, že z Lienard-Wiechertovy formule přebíráme pouze druhý člen. Za předpokladu, že částice je v čase v klidu [2] , máme: $t_{\text{r))$

\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\ tečka {\boldsymbol {\beta }}}}}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .

Pokud zavedeme - úhel mezi zrychlením a pozorovacím vektorem a zrychlením , pak se výkon vyzářený na jednotku prostorového úhlu rovná $\theta$ $\mathbf {a} ={\tečka {\boldsymbol {\beta ))}c$

d P d Ω = q 2 čtyři π C hřích 2 ⁡ ( θ ) A 2 C 2 . {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.}

{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.

Celkový vyzářený výkon se zjistí integrací této veličiny přes všechny prostorové úhly (tj. přes a ). To dává $\theta$ $\phi$

P = 2 3 q 2 A 2 C 3 , {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},

což je Larmorův vzorec pro nerelativistický urychlený náboj. Vztahuje energii emitovanou částicí k jejímu zrychlení. Z něj je jasně vidět, že čím rychleji se náboj zrychlí, tím větší bude záření. To by se dalo očekávat, protože pole záření závisí na zrychlení.

Relativistická generalizace

Kovariantní forma

Nerelativistická Larmorova formule zapsaná pomocí hybnosti p má tvar (v jednotkách CGS) [3]

P = 2 3 q 2 m 2 C 3 | p ˙ | 2 . {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p}} } } |^{2}.}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p}} } } |^{2}.

Mocnina P může být ukázána jako Lorentzova invariantní . Proto jakékoli relativistické zobecnění Larmorova vzorce musí vztahovat P k nějaké jiné Lorentzově invariantní veličině. vyskytující se v nerelativistickém vzorci naznačuje, že relativisticky správný vzorec musí zahrnovat 4-skalár získaný tím, že vezmeme bodový součin 4-zrychlení a μ = dp μ / d τ s sebou (zde p μ = (γ mc , γ m v ) − 4-impulzní ). Správné relativistické zobecnění Larmorova vzorce (v jednotkách CGS) $|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$

$P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{ d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.$

Lze ukázat, že tato konvoluce je určena výrazem

d p μ d τ d p μ d τ = β 2 ( d p d τ ) 2 − ( d p d τ ) 2 , {\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},} ${\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},$

a proto se v limitě β ≪ 1 redukuje na , čímž se reprodukuje nerelativistický případ. $-|{\tečka {\mathbf {p} }}|^{2}$

Nekovariantní forma

Výše uvedená konvoluce může být také zapsána v podmínkách β a její časové derivace. Pak relativistické zobecnění Larmorova vzorce (v jednotkách cgs)

$P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\ tučný symbol {\beta }}\times {\tečka {\tučný symbol {\beta }}})^{2}\right].$

Toto je Lienardův výsledek , který byl poprvé získán v roce 1898. znamená, že když je Lorentzův faktor velmi blízko jednotce (tj. ), záření emitované částicí je zanedbatelné. Nicméně, jak záření roste, stejně jako , jak částice ztrácí svou energii ve formě elektromagnetických vln. Kromě toho, když jsou zrychlení a rychlost ortogonální, výkon se sníží o , to znamená, že koeficient se stane . Čím rychleji se částice pohybuje, tím větší je tato kontrakce. $\gamma ^{6}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2))))$ $\beta \ll 1$ $\beta \rightarrow 1$ $\gamma ^{6}$ ${\displaystyle 1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2))$ $\gamma ^{6}$ $\gamma ^{4}$

Poznámky

↑ Larmor J (1897). „LXIII.O teorii magnetického vlivu na spektra; a na záření z pohybujících se iontů“ . Filosofický časopis . 5. 44 (271): 503-512. DOI : 10.1080/14786449708621095 . Archivováno z originálu 2022-01-24 . Získáno 24. 1. 2022 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )Vzorec je uveden v textu na poslední straně.
↑ případ, kdy je to obtížnější. Recenzován je například v Griffiths, 2017 . $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$
↑ Jackson, 1965 .

Literatura

J. Larmor, "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) str. 205-300 (třetí a poslední ze série článků se stejným názvem).
J. Jackson. Klasická elektrodynamika / I. G. Nakhimson. - Moskva, 1. pruh Riga, 2: Mir , 1965. - S. 212, 510.
Misner, Charles. Gravitace / Misner, Charles, Thorne, Kip S., Wheeler, John Archibald. - San Francisco: W.H. Freeman, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
R. P. Feynman . Feynmanovy přednášky o gravitaci / R. P. Feynman , F. B. Moringo, W. G. Wagner. - Addison-Wesley, 1995. - ISBN 0-201-62734-5 .
Griffiths, David J. Úvod do elektrodynamiky . — 4. - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1-108-42041-9 . - doi : 10.1017/9781108333511 .