Vzorec Faa di Bruno

Vzorec Faa di Bruno je zobecněním vzorce pro derivování komplexní funkce na derivace vyšších řádů. Byl pojmenován po italském matematikovi a knězi Francescu Faa di Bruno , díky kterému se proslavila (kolem roku 1855), i když skutečným objevitelem tohoto vzorce je Louis Francois Antoni Arbogast , který více než 50 let před Faa di Bruno vyrobil první publikace [1] na toto téma.

Snad nejslavnější vzorec Faa di Bruno je následující:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum {\frac {n!}{m_{1 }!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{ n))))\cdot f^{(m_{1}+\tečky +m_{n})}{\big (}g(x){\big )}\cdot \prod _{j=1}^ {n}{\big (}g^{(j)}(x){\big )}^{m_{j)),

kde součet všech n - n - tic nezáporných celých čísel ( m 1 , …, m n ) splňujících omezení

1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.

Někdy se pro lepší zapamatování vzorec píše jako

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum {\frac {n!}{m_{1 }!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\tečky +m_{n})}{\big (}g(x ){\big )}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!)}}\right)^{m_ { j}},

tím se však snižuje samozřejmost kombinatorického výkladu.

Sečtením členů s pevnou hodnotou m 1 + m 2 + … + m n = k a poznámkou, že m j se musí rovnat nule pro j > n − k + 1, můžeme dospět k poněkud jednoduššímu vzorci vyjádřenému pomocí Bellovy polynomy B n , k ( x 1 , …, x n − k +1 ):

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum _{k=1}^{n}f ^{(k)}{\big (}g(x){\big )}\cdot B_{n,k}{\big (}g'(x),g''(x),\tečky ,g ^{(n-k+1)}(x){\big )}.

Kombinační forma

Vzorec má následující kombinatorickou formu:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=(f\circ g)^{(n)}( x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{{\big (}|\pi |{\big ))){\big (}g(x){\big )}\cdot \prod _{B\in \pi }g^{{\big (}|B|{\big )}}(x),

kde

π nabývá hodnot z množiny Π všech oddílů množiny { 1, …, n }, B ∈ π znamená, že proměnná B prochází částmi oddílu π, | A | označuje mohutnost množiny A (tedy |π| je počet bloků v oddílu π, | B | je velikost bloku B ).

Příklad

Kombinatorický tvar vzorce se může zpočátku zdát komplikovaný, proto uvažujme konkrétní případ:

{\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)&=f''''{\big (}g(x){\big )}g'(x)^{ 4}+6f'''{\big (}g(x){\big )}g''(x)g'(x)^{2}+{}\\&+3f''{\big ( }g(x){\big )}g''(x)^{2}+4f''{\big (}g(x){\big )}g'''(x)g'(x) +{}\\&+f'{\big (}g(x){\big )}g''''(x).\end{aligned))

Všechny akce se provádějí podle následujícího vzoru:

{\begin{alignedat}{4}g'(x)^{4}&\leftrightarrow {}&1+1+1+1&\leftrightarrow {}&f''''{\big (}g(x ){\big )}&\leftrightarrow {}&1,\\g''(x)g'(x)^{2}&\leftrightarrow &2+1+1&\leftrightarrow &f'''{\big (}g (x){\big )}&\leftrightarrow &6,\\g''(x)^{2}&\leftrightarrow &2+2&\leftrightarrow &f''{\big (}g(x){\big )} &\leftrightarrow &3,\\g'''(x)g'(x)&\leftrightarrow &3+1&\leftrightarrow &f''{\big (}g(x){\big )}&\leftrightarrow &4,\ \g''''(x)&\leftrightarrow &4&\leftrightarrow &f'{\big (}g(x){\big )}&\leftrightarrow &1.\end{alignedat))

Faktor zjevně odpovídá rozdělení 2 + 1 + 1 ze 4 (řád derivace). Jeho faktor ukazuje, že v tomto oddílu jsou 3 termíny. Konečně koeficient 6 znamená, že existuje přesně 6 oddílů množiny 4 prvků, ve kterých jedna část obsahuje dva prvky a dvě části jeden. $g''(x)g'(x)^{2}$ ${\displaystyle f'''{\big (}g(x){\big )))$

Analogicky faktor ve třetím řádku odpovídá oddílu 2 + 2 čísla 4 a označuje, že tento oddíl by měl mít 2 členy. Faktor 3 říká, že existuje pouze jeden způsob, jak rozdělit 4 prvky do skupin o velikosti 2. $g''(x)^{2}$ ${\displaystyle f''{\big (}g(x){\big )))$ ${\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3$

Zbývající členy vzorce jsou interpretovány podobně.

Kombinatorická interpretace koeficientů

Koeficienty vzorce Faa di Bruno lze vyjádřit v uzavřeném tvaru. Počet oddílů množiny velikosti n odpovídající oddílu čísla n :

n=\underbrace {1+\cdots +1} _{m_{1}}+\underbrace {2+\cdots +2} _{m_{2}}+\underbrace {3+\cdots +3 } _{m_{3}}+\cdots

rovná se

{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_ {2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots }}.

Tyto koeficienty se také objevují v Bellových polynomech , které jsou důležité pro studium kumulantů .

Poznámky

↑ Arbogast, L. F. A. Du calcul des derivations (neopr.) . — Štrasburk: Levrault, 1800.

Odkazy

Weisstein, Formule Erica W. Faa di Bruna (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Poznámky k přednášce o vzorci Faa di Bruno s příklady .
V. A. Kudrjavcev. Obecný vzorec pro n-tou derivaci stupně nějaké funkce // Matematická výchova . - M. - L .: ONTI , 1934. - Vydání. 1 . - S. 24-27 .