Jacobiho formule

Jacobiho vzorec je vzorec, který dává do vztahu determinant matice splňující diferenciální rovnici na začátku integračního intervalu s determinantem matice na konci integračního intervalu.

Formulace

Dovolit je řešení rovnice , kde jsou matice. Pak: $X(t)$ ${\dot {X}}=A(t)X$ $X,A$

\det X=\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)\det X(0)

Důkaz

Lze dokázat, že [1] . Podle prokazatelného vzorce . Funkce tedy splňuje podmínku . Proto , kde [2] . ${\dot {(\det X)))=(\det X)(tr{\dot {X}}X^{-1})$ ${\dot {X}}X^{-1}=A(t)$ $y(t)=\det X(t)$ ${\dot {(\ln y)))={\frac {\dot {y}}{y}}=trA(t)$ $y(t)=c\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)$ $c=y(0)=\det X(0)$

Poznámky

↑ Problémy a věty lineární algebry, 1996 , str. 276.
↑ Problémy a věty lineární algebry, 1996 , str. 273.

Literatura

Prasolov VV Úlohy a věty lineární algebry. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .