Vzorec tangens polovičního úhlu

Tangenta vzorce polovičního úhlu je trigonometrický vzorec, který dává do vztahu tangens polovičního úhlu k goniometrickým funkcím plného úhlu:

\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta } {\sin \theta }}=(-1)^{k}{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta )),

kde a je určeno z podmínky . $k\in \mathbb {Z}$ $k\pi \leq \theta \leq (k+1)\pi$

S tímto vzorcem souvisí také následující vztahy:

{\begin{aligned}\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2))\ &={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta )),\\[10pt]\název operátora {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\ sec \theta +\operatorname {tg} \theta ={\frac {1+\operatorname {tg} (\theta /2)}{1-\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1 )^{k}{\sqrt {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}},\\[10pt]\mathrm {ctg} \left({\frac {\theta } {2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta -\jméno operátora {tg} \theta ={\frac {1-\jméno operátora {tg} (\theta /2 )}{1+\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }} }.\end{aligned}}

V posledních dvou výrazech a je určeno z podmínky . $k\in \mathbb {Z}$ $\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi \leq \theta \leq \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\pi$

Když máme: $\theta \in \left(-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2))\right)$ $\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {tg} \theta }{1+{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2} \theta }}}}.$

Geometrický důkaz

Univerzální trigonometrické substituce

V různých aplikacích je užitečné psát goniometrické funkce (jako je sinus a kosinus ) v podmínkách racionálních funkcí nové proměnné t , rovné tangenci polovičního úhlu. Tyto identity jsou užitečné při výpočtu primitivních derivátů .

Existence vzorce pro tečnu polovičního úhlu je založena na skutečnosti, že kruh je algebraická křivka řádu 2. Dalo by se tedy očekávat, že „kruhové funkce“ lze redukovat na racionální funkce.

Geometrické konstrukce vypadají takto: na trigonometrické kružnici pro libovolný bod se souřadnicemi (cos φ, sin φ) nakreslíme přímku procházející kružnicí a bodem se souřadnicemi (−1,0). Tato přímka protíná osu y (osa y ) v určitém bodě se souřadnicí y = t . Jednoduchými geometrickými konstrukcemi lze ukázat, že t = tg(φ/2). Rovnice nakreslené čáry je y = (1 + x ) t . Rovnice pro určení průsečíků zadané přímky a kružnice je kvadratická rovnice v t . Dvě řešení této rovnice jsou (−1, 0) a (cos φ, sin φ). To nám umožňuje psát (cos φ, sin φ) jako racionální funkce t (řešení jsou uvedena níže).

Všimněte si také, že parametr t je stereografická projekce bodu (cos φ, sin φ) na osu y se středem projekce umístěným v bodě (−1,0). Proto vzorec pro tečnu polovičního úhlu nám dává přechod ze stereografické souřadnice t do trigonometrické kružnice a standardní úhlové souřadnice φ.

My máme

$\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$		$\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},$
$\operatorname {tg} \varphi ={\frac {2t}{1-t^{2}},$		$\operatorname {ctg} \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t)),$
$\sec \varphi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$		$\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t)),$

e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it)),

e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it)).

Z těchto vzorců lze arkus tangens vyjádřit v podmínkách přirozeného logaritmu

\operatorname {arctg} (t)={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {1+it}{1-it}}.

Při hledání primitivních funkcí funkcí obsahujících sin( φ ) a cos( φ ) vypadá Weierstrassova substituce takto. brát

t=\operatorname {tg} {\tfrac {1}{2}}\varphi .

dostaneme

\varphi =2\operatorname {arctg} (t),

a proto

d\varphi ={{2\,dt} \over {1+t^{2}}}.

Hyperbolické identity

Jeden může získat úplně podobné odvozeniny pro hyperbolické funkce . Bod na hyperbole (na její pravé větvi) je určen souřadnicemi (ch θ , sh θ ). Promítnutím na osu y ze středu (−1, 0) dostaneme následující:

t=\operatorname {th} {\frac {1}{2}}\theta ={\frac {\operatorname {sh} \theta }{\operatorname {ch} \theta +1}}={\ frac {\jméno operátora {ch} \theta -1}{\jméno operátora {sh} \theta }}

a pak identity pro hyperbolické funkce jsou

$\operatorname {ch} \theta ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$		$\operatorname {sh} \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},$
$\operatorname {th} \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},$		$\operatorname {cth} \theta ={\frac {1+t^{2}}{2t)),$
$\mathrm {sech} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$		$\mathrm {csch} \,\theta ={\frac {1-t^{2}}{2t)),$

e^{\theta }={\frac {1+t}{1-t)),

e^{-\theta }={\frac {1-t}{1+t)).

Použití těchto substitucí k nalezení primitivních derivátů zavedl Karl Weierstrass .

Vyjádření θ pomocí t vede k následujícím vztahům mezi hyperbolickým arkus tangens a přirozeným logaritmem:

\operatorname {arth} (t)={\frac {1}{2))\ln {\frac {1+t}{1-t)).

Viz také

Odkazy

Tangenta polovičního úhlu v Planetmath